|
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу
один
камень или увеличить количество камней в куче в
два
раза
. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход,
т.е. первым получивший кучу, в которой будет 65 или больше камней.
В начальный момент в куче было
S
камней, 1 ≤
S
≤ 64.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока
–
–
значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
Задание 1
а) Укажите все такие значения числа
S
, при которых Петя может выиграть в один ход, и соответствующие выигрывающие ходы. Если при некотором значении
S
Петя может выиграть несколькими способами, достаточно указать один выигрывающий ход.
б) Укажите такое значение
S
, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
Задание 2
Укажите два таких значения
S
, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполнены два условия:
–
–
Петя не может выиграть за один ход;
–
–
Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для каждого указанного значения
S
опишите выигрышную стратегию Пети.
Задание 3
Укажите значение
S
, при котором:
–
–
у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
–
–
у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть
первым ходом.
Для указанного значения
S
опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте ходы,
в узлах указывайте позиции.
|