Задание 4 ЕГЭ по базовой математике 2025: Преобразование выражений

Задание 4 в ЕГЭ по базовой математике проверяет умение выполнять преобразования алгебраических выражений. Это задание требует знания основных алгебраических формул и правил преобразования выражений, а также умения применять их на практике.

Теория для подготовки к заданию

Задание 4 в ЕГЭ по базовой математике относится к базовому уровню сложности и проверяет умение выполнять преобразования алгебраических выражений, включая степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические выражения. Для успешного решения таких задач необходимо знать основные формулы и правила преобразования выражений, а также уметь применять их в конкретных ситуациях.

Основные формулы и правила преобразования выражений

Формулы сокращенного умножения

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Свойства степеней

a^m · a^n = a^(m+n)
a^m / a^n = a^(m-n)
(a^m)^n = a^(m·n)
(a·b)^n = a^n · b^n
(a/b)^n = a^n / b^n
a^0 = 1 (при a ≠ 0)
a^(-n) = 1 / a^n
a^(1/n) = ⁿ√a
a^(m/n) = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m

Свойства корней

√(a·b) = √a · √b
√(a/b) = √a / √b
ⁿ√(a^m) = a^(m/n)
ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(a·b)
ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b)

Свойства логарифмов

log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y)
log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
log_a(x^n) = n·log_a(x)
log_a(a) = 1
log_a(1) = 0
a^(log_a(x)) = x
log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)

Основные тригонометрические формулы

sin²α + cos²α = 1
tgα = sinα / cosα
ctgα = cosα / sinα
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin(α - β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ
cos(α + β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ
cos(α - β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
sin2α = 2sinα·cosα
cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

Важно!

При выполнении преобразований алгебраических выражений необходимо внимательно следить за областью допустимых значений переменных. Например, при сокращении дробей нужно учитывать, что знаменатель не может быть равен нулю, а при извлечении корней четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Алгоритм решения задач на преобразование выражений

Внимательно прочитать условие задачи и определить, какое преобразование нужно выполнить
Выбрать подходящие формулы и правила для преобразования выражения
Выполнить преобразования, следя за правильностью каждого шага
Проверить полученный результат, подставив числовые значения переменных (если это возможно)
Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении задач на преобразование выражений

Типичные ошибки при решении задач на преобразование выражений связаны с неправильным применением формул, ошибками в вычислениях, а также с неучетом области допустимых значений переменных. Поэтому важно внимательно выполнять каждый шаг преобразования и проверять полученный результат.

Примеры задач

Найдите значение выражения (2^5 · 2^3) / 2^6.

Ответ: 4

Используем свойства степеней:

(2^5 · 2^3) / 2^6 = 2^(5+3) / 2^6 = 2^8 / 2^6 = 2^(8-6) = 2^2 = 4

Найдите значение выражения log₂(8) + log₂(2).

Ответ: 4

Используем свойства логарифмов:

log₂(8) + log₂(2) = log₂(8 · 2) = log₂(16) = log₂(2^4) = 4

Найдите значение выражения (√12 - √3) · (√12 + √3).

Ответ: 9

Используем формулу разности квадратов:

(√12 - √3) · (√12 + √3) = (√12)² - (√3)² = 12 - 3 = 9

Основные приемы для решения задач на преобразование выражений

Тип выражения	Приемы преобразования
Алгебраические выражения	Раскрытие скобок: умножение каждого члена за скобками на каждый член в скобках Приведение подобных членов: сложение или вычитание членов с одинаковыми буквенными множителями Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения, группировка членов Сокращение дробей: разложение числителя и знаменателя на множители и сокращение общих множителей
Степенные выражения	Применение свойств степеней для упрощения выражений Приведение к одному основанию: представление всех степеней с одним и тем же основанием Приведение к одному показателю: представление всех оснований с одним и тем же показателем
Иррациональные выражения	Применение свойств корней для упрощения выражений Избавление от иррациональности в знаменателе: умножение числителя и знаменателя на сопряженное выражение Вынесение множителя из-под знака корня: представление подкоренного выражения в виде произведения
Логарифмические выражения	Применение свойств логарифмов для упрощения выражений Приведение к одному основанию: использование формулы перехода к новому основанию Логарифмирование и потенцирование: применение операций, обратных друг другу
Тригонометрические выражения	Применение основных тригонометрических тождеств для упрощения выражений Применение формул сложения, вычитания, двойного и половинного угла Применение формул приведения: представление тригонометрических функций углов, больших 90°, через функции острых углов