Задание 5 ЕГЭ по базовой математике 2025: Теория вероятностей

Задание 5 в ЕГЭ по базовой математике проверяет умение решать задачи на вычисление вероятности случайного события. Это задание требует понимания основных понятий теории вероятностей и умения применять формулы для вычисления вероятности в различных ситуациях.

Теория для подготовки к заданию

Задание 5 в ЕГЭ по базовой математике относится к базовому уровню сложности и проверяет умение решать задачи на вычисление вероятности случайного события. Для успешного решения таких задач необходимо знать основные понятия теории вероятностей, такие как случайное событие, вероятность события, операции над событиями, а также уметь применять формулы для вычисления вероятности в различных ситуациях.

Основные понятия теории вероятностей

Случайное событие

Случайное событие — это событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого опыта (эксперимента). Например, при бросании монеты выпадение орла — это случайное событие.

Виды событий

Достоверное событие — событие, которое обязательно произойдет в результате опыта. Обозначается Ω.
Невозможное событие — событие, которое не может произойти в результате опыта. Обозначается ∅.
Элементарное событие — событие, которое нельзя разложить на более простые события.
Равновозможные события — события, которые имеют одинаковую вероятность наступления.
Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно в одном опыте.
Противоположные события — события, одно из которых обязательно произойдет в результате опыта, но оба вместе произойти не могут. Если событие обозначается A, то противоположное ему событие обозначается Ā.

Операции над событиями

Сумма (объединение) событий A и B — событие, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий A или B. Обозначается A + B или A ∪ B.
Произведение (пересечение) событий A и B — событие, которое происходит, если происходят оба события A и B. Обозначается A · B или A ∩ B.
Разность событий A и B — событие, которое происходит, если происходит событие A, но не происходит событие B. Обозначается A \ B.

Вероятность события

Вероятность события A — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов опыта. Обозначается P(A).

P(A) = m / n, где m — число благоприятных исходов, n — общее число всех возможных исходов.

Свойства вероятности

Вероятность достоверного события равна 1: P(Ω) = 1.
Вероятность невозможного события равна 0: P(∅) = 0.
Вероятность любого события A находится в пределах от 0 до 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Вероятность противоположного события: P(Ā) = 1 - P(A).
Вероятность суммы несовместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B).
Вероятность суммы совместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A · B).
Вероятность произведения независимых событий: P(A · B) = P(A) · P(B).

Важно!

При решении задач на вероятность необходимо внимательно анализировать условие задачи, определять, какие события являются благоприятными, а какие — возможными, и правильно применять формулы для вычисления вероятности. Также важно помнить, что вероятность всегда находится в пределах от 0 до 1, и проверять полученный результат на соответствие этому условию.

Алгоритм решения задач на вероятность

Внимательно прочитать условие задачи и определить, какое событие является интересующим (благоприятным)
Определить пространство элементарных исходов опыта (все возможные исходы)
Подсчитать общее число всех возможных исходов опыта (n)
Подсчитать число благоприятных исходов (m)
Вычислить вероятность события по формуле P(A) = m / n
Проверить полученный результат на соответствие условию 0 ≤ P(A) ≤ 1
Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении задач на вероятность

Типичные ошибки при решении задач на вероятность связаны с неправильным определением благоприятных и возможных исходов, ошибками в подсчете их числа, а также с неверным применением формул для вычисления вероятности. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и правильно применять формулы.

Примеры задач

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Ответ: 0,375

При бросании монеты трижды общее число всех возможных исходов равно 2³ = 8.

Благоприятными являются исходы, в которых орел выпадает ровно два раза. Таких исходов C₃² = 3 (ООР, ОРО, РОО).

Вероятность события равна P = 3 / 8 = 0,375.

В коробке лежат 10 красных, 5 синих и 5 зеленых шаров. Из коробки случайным образом вынимают один шар. Найдите вероятность того, что этот шар окажется красным или зеленым.

Ответ: 0,75

Общее число всех возможных исходов равно 10 + 5 + 5 = 20.

Благоприятными являются исходы, в которых вынимают красный или зеленый шар. Таких исходов 10 + 5 = 15.

Вероятность события равна P = 15 / 20 = 0,75.

Из 60 вопросов, включенных в экзаменационные билеты, студент знает 50. Найдите вероятность того, что студент знает оба вопроса в случайно выбранном билете, содержащем два вопроса.

Ответ: 0,6949... ≈ 0,695

Общее число всех возможных исходов (способов выбрать 2 вопроса из 60) равно C₆₀² = 60 · 59 / 2 = 1770.

Благоприятными являются исходы, в которых оба выбранных вопроса входят в число 50 известных студенту. Таких исходов C₅₀² = 50 · 49 / 2 = 1225.

Вероятность события равна P = 1225 / 1770 = 0,6949... ≈ 0,695.

Основные формулы и приемы для решения задач на вероятность

Тип задачи	Формулы и приемы
Классическое определение вероятности	P(A) = m / n, где m — число благоприятных исходов, n — общее число всех возможных исходов Для подсчета числа возможных исходов часто используются формулы комбинаторики: Число перестановок из n элементов: P_n = n! Число размещений из n элементов по k: A_n^k = n! / (n - k)! Число сочетаний из n элементов по k: C_n^k = n! / (k! · (n - k)!)
Операции над событиями	Вероятность противоположного события: P(Ā) = 1 - P(A) Вероятность суммы несовместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B) Вероятность суммы совместных событий: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A · B) Вероятность произведения независимых событий: P(A · B) = P(A) · P(B) Вероятность произведения зависимых событий: P(A · B) = P(A) · P(B\|A), где P(B\|A) — условная вероятность события B при условии, что произошло событие A
Формула полной вероятности	Если события H₁, H₂, ..., H_n образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события A равна: P(A) = P(H₁) · P(A\|H₁) + P(H₂) · P(A\|H₂) + ... + P(H_n) · P(A\|H_n)
Формула Байеса	Если известны вероятности P(H₁), P(H₂), ..., P(H_n) гипотез H₁, H₂, ..., H_n и условные вероятности P(A\|H₁), P(A\|H₂), ..., P(A\|H_n) события A при этих гипотезах, то вероятность гипотезы H_i при условии, что событие A произошло, равна: P(H_i\|A) = P(H_i) · P(A\|H_i) / (P(H₁) · P(A\|H₁) + P(H₂) · P(A\|H₂) + ... + P(H_n) · P(A\|H_n))
Схема Бернулли	Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность успеха равна p, успех произойдет ровно k раз, равна: P_n(k) = C_n^k · p^k · (1 - p)^(n - k)