Задание 8 в ЕГЭ по базовой математике проверяет умение анализировать математические утверждения и определять их истинность или ложность. Это задание требует хорошего знания математических определений, теорем и свойств, а также умения логически мыслить и строить контрпримеры.
Задание 8 в ЕГЭ по базовой математике относится к базовому уровню сложности и проверяет умение анализировать математические утверждения. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать основные математические определения, теоремы и свойства из различных разделов математики, а также уметь логически мыслить и строить контрпримеры для опровержения ложных утверждений.
Такие утверждения касаются свойств натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел, а также операций над ними.
Примеры:
Такие утверждения касаются свойств алгебраических выражений, тождеств, уравнений и неравенств.
Примеры:
Такие утверждения касаются свойств функций, их графиков, области определения и множества значений.
Примеры:
Такие утверждения касаются свойств геометрических фигур, их элементов и отношений между ними.
Примеры:
При анализе математических утверждений необходимо внимательно читать формулировку и обращать внимание на кванторы (слова "все", "любой", "каждый", "существует", "некоторый" и т.д.), которые определяют область применимости утверждения. Для доказательства истинности утверждения нужно показать, что оно верно во всех случаях, а для опровержения достаточно привести хотя бы один контрпример.
Типичные ошибки при решении задач на анализ утверждений связаны с неправильным пониманием формулировки утверждения, недостаточным знанием математических фактов, а также с логическими ошибками при анализе. Поэтому важно внимательно читать утверждение, хорошо знать математическую теорию и быть внимательным при построении логических рассуждений.
Укажите номера верных утверждений.
Ответ: 1, 4
Проанализируем каждое утверждение:
1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Это утверждение верно. Если в треугольнике два угла равны, то и противолежащие им стороны равны, а значит, треугольник равнобедренный.
2. Через любые три точки можно провести окружность.
Это утверждение неверно. Через три точки можно провести окружность только в том случае, если они не лежат на одной прямой. Если три точки лежат на одной прямой, то через них нельзя провести окружность.
3. Если диагонали четырехугольника равны, то это прямоугольник.
Это утверждение неверно. Равные диагонали имеет не только прямоугольник, но и некоторые другие четырехугольники, например, равнобедренная трапеция.
4. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Это утверждение верно. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°.
Таким образом, верными являются утверждения 1 и 4.
Укажите номера верных утверждений.
Ответ: 1, 2, 3, 4
Проанализируем каждое утверждение:
1. Если число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3.
Это утверждение верно. Число 6 = 2 · 3, поэтому если число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3.
2. Если число делится и на 2, и на 3, то оно делится на 6.
Это утверждение верно. Если число делится и на 2, и на 3, то оно делится на их наименьшее общее кратное, которое равно 6.
3. Если число не делится на 6, то оно не делится либо на 2, либо на 3.
Это утверждение верно. Оно является контрапозицией утверждения 2, которое мы уже признали верным. Контрапозиция утверждения "если A, то B" имеет вид "если не B, то не A" и всегда имеет ту же истинность, что и исходное утверждение.
4. Если число не делится ни на 2, ни на 3, то оно не делится на 6.
Это утверждение верно. Оно является контрапозицией утверждения 1, которое мы уже признали верным.
Таким образом, все утверждения верны.
Укажите номера верных утверждений.
Ответ: 2, 4
Проанализируем каждое утверждение:
1. Если функция возрастает на промежутке, то ее производная положительна на этом промежутке.
Это утверждение неверно. Функция может возрастать на промежутке, даже если ее производная равна нулю в некоторых точках этого промежутка. Например, функция y = x³ возрастает на всей числовой прямой, но ее производная y' = 3x² равна нулю при x = 0.
2. Если производная функции положительна на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Это утверждение верно. Если производная функции положительна на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
3. Если функция убывает на промежутке, то ее производная отрицательна на этом промежутке.
Это утверждение неверно по той же причине, что и утверждение 1. Функция может убывать на промежутке, даже если ее производная равна нулю в некоторых точках этого промежутка.
4. Если производная функции отрицательна на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.
Это утверждение верно. Если производная функции отрицательна на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.
Таким образом, верными являются утверждения 2 и 4.
| Тип утверждения | Приемы анализа |
|---|---|
| Утверждения о числах и их свойствах |
Проверка на конкретных примерах: подставить конкретные числа и проверить, выполняется ли утверждение Использование определений и свойств чисел: применить известные свойства натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел Разбор случаев: рассмотреть различные случаи (например, для четных и нечетных чисел, положительных и отрицательных и т.д.) Построение контрпримера: найти конкретное число или набор чисел, для которых утверждение не выполняется |
| Утверждения об алгебраических выражениях |
Алгебраические преобразования: упростить выражение, раскрыть скобки, привести подобные члены и т.д. Использование тождеств: применить известные алгебраические тождества Исследование области допустимых значений: проверить, при каких значениях переменных выражение имеет смысл Построение контрпримера: найти конкретные значения переменных, при которых утверждение не выполняется |
| Утверждения о функциях |
Исследование свойств функции: определить область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и т.д. Построение графика: нарисовать график функции и проверить, выполняется ли утверждение Использование производной: исследовать поведение функции с помощью производной Построение контрпримера: найти конкретную функцию или значение аргумента, для которых утверждение не выполняется |
| Утверждения о геометрических фигурах |
Использование определений и свойств фигур: применить известные свойства треугольников, четырехугольников, окружностей и других фигур Построение чертежа: нарисовать фигуру и проверить, выполняется ли утверждение Использование координатного метода: ввести систему координат и записать уравнения фигур Построение контрпримера: найти конкретную фигуру, для которой утверждение не выполняется |