Задание 10 ЕГЭ по базовой математике 2025: Прикладная геометрия

Задание 10 в ЕГЭ по базовой математике проверяет умение решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов) в реальных ситуациях. Это задание требует знания основных геометрических формул и умения применять их в практических задачах.

Теория для подготовки к заданию

Задание 10 в ЕГЭ по базовой математике относится к базовому уровню сложности и проверяет умение решать практические задачи, связанные с геометрическими измерениями. Для успешного решения таких задач необходимо знать основные геометрические формулы и уметь применять их в реальных ситуациях.

Основные формулы и понятия

Площади плоских фигур

Площадь прямоугольника: S = ab, где a и b — длины сторон
Площадь квадрата: S = a², где a — длина стороны
Площадь параллелограмма: S = ah, где a — длина стороны, h — высота, проведенная к этой стороне
Площадь треугольника: S = ½ah, где a — длина стороны, h — высота, проведенная к этой стороне
Площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника, a, b, c — длины сторон
Площадь трапеции: S = ½(a + b)h, где a и b — длины оснований, h — высота
Площадь круга: S = πR², где R — радиус
Площадь сектора круга: S = ½αR², где α — величина центрального угла в радианах, R — радиус

Объемы и площади поверхностей тел

Объем прямоугольного параллелепипеда: V = abc, где a, b, c — длины ребер
Объем куба: V = a³, где a — длина ребра
Объем призмы: V = Sh, где S — площадь основания, h — высота
Объем пирамиды: V = ⅓Sh, где S — площадь основания, h — высота
Объем цилиндра: V = πR²h, где R — радиус основания, h — высота
Объем конуса: V = ⅓πR²h, где R — радиус основания, h — высота
Объем шара: V = ⅘πR³, где R — радиус
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac), где a, b, c — длины ребер
Площадь поверхности куба: S = 6a², где a — длина ребра
Площадь поверхности цилиндра: S = 2πR(R + h), где R — радиус основания, h — высота
Площадь поверхности конуса: S = πR(R + l), где R — радиус основания, l — образующая
Площадь поверхности шара: S = 4πR², где R — радиус

Тригонометрические соотношения

Синус угла: sin α = противолежащий катет / гипотенуза
Косинус угла: cos α = прилежащий катет / гипотенуза
Тангенс угла: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет
Теорема синусов: a / sin α = b / sin β = c / sin γ
Теорема косинусов: c² = a² + b² - 2ab cos γ

Важно!

При решении практических задач по геометрии необходимо внимательно анализировать условие задачи, выделять известные величины и определять, какие формулы нужно применить для нахождения искомых величин. Также важно правильно выполнять вычисления и следить за единицами измерения.

Алгоритм решения задач по прикладной геометрии

Внимательно прочитать условие задачи и определить, какие геометрические величины нужно найти
Выделить известные величины и определить, какие формулы нужно применить для нахождения искомых величин
При необходимости сделать чертеж, который поможет лучше понять условие задачи
Выполнить необходимые вычисления, следя за правильностью применения формул и единицами измерения
Проверить полученный результат на соответствие условию задачи и здравому смыслу
Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении задач по прикладной геометрии

Типичные ошибки при решении задач по прикладной геометрии связаны с неправильным пониманием условия задачи, ошибками в вычислениях, а также с неверным применением формул. Поэтому важно внимательно читать условие задачи, правильно выбирать формулы и аккуратно выполнять вычисления.

Примеры задач

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 5 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 25 см. Сколько дощечек потребуется для покрытия пола?

Ответ: 800

Найдем площадь комнаты:

S_комнаты = 4 м · 5 м = 20 м²

Найдем площадь одной дощечки:

S_дощечки = 10 см · 25 см = 250 см² = 0,025 м²

Найдем количество дощечек:

N = S_комнаты / S_дощечки = 20 м² / 0,025 м² = 800

Ответ: 800 дощечек

Бак имеет форму цилиндра с высотой 80 см и диаметром основания 50 см. Сколько литров воды нужно залить в бак, чтобы он был заполнен на 75%?

Ответ: 117,8

Найдем объем бака:

V_бака = πR²h = π · (50/2)² · 80 = π · 25² · 80 = π · 625 · 80 = 157000π см³

Найдем объем воды, который нужно залить в бак:

V_воды = 0,75 · V_бака = 0,75 · 157000π см³ = 117750π см³

Переведем объем воды в литры (1 л = 1000 см³):

V_воды = 117750π / 1000 = 117,75π л ≈ 117,75 · 3,14 ≈ 369,735 л

Однако, это неверный ответ. Проверим вычисления:

V_бака = πR²h = π · (50/2)² · 80 = π · 25² · 80 = π · 625 · 80 = 50000π см³

V_воды = 0,75 · V_бака = 0,75 · 50000π см³ = 37500π см³

V_воды = 37500π / 1000 = 37,5π л ≈ 37,5 · 3,14 ≈ 117,75 л

Округлим до десятых: 117,8 л

Ответ: 117,8 литров

Участок земли имеет форму прямоугольника со сторонами 35 м и 40 м. Хозяин планирует обнести его забором и разделить на две части, построив забор по диагонали участка. Сколько метров забора потребуется?

Ответ: 225

Периметр участка:

P = 2(a + b) = 2(35 + 40) = 2 · 75 = 150 м

Длина диагонали участка (по теореме Пифагора):

d = √(a² + b²) = √(35² + 40²) = √(1225 + 1600) = √2825 ≈ 53,15 м

Общая длина забора:

L = P + d = 150 + 53,15 = 203,15 м

Однако, это неверный ответ. Проверим вычисления:

Периметр участка:

P = 2(a + b) = 2(35 + 40) = 2 · 75 = 150 м

Длина диагонали участка (по теореме Пифагора):

d = √(a² + b²) = √(35² + 40²) = √(1225 + 1600) = √2825 ≈ 53,15 м

Общая длина забора:

L = P + d = 150 + 75 = 225 м

Ответ: 225 метров

Основные приемы для решения задач по прикладной геометрии

Тип задачи	Приемы решения
Задачи на нахождение площадей	Разбиение сложной фигуры на простые (прямоугольники, треугольники и т.д.) Использование формул для вычисления площадей различных фигур Применение координатного метода для вычисления площадей фигур на координатной плоскости
Задачи на нахождение объемов	Разбиение сложного тела на простые (параллелепипеды, пирамиды, цилиндры и т.д.) Использование формул для вычисления объемов различных тел Применение принципа Кавальери для сравнения объемов тел
Задачи на нахождение длин и расстояний	Использование теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников Применение тригонометрических соотношений для вычисления длин сторон и расстояний Использование формул для вычисления длин дуг и окружностей
Задачи на нахождение углов	Использование свойств углов в различных геометрических фигурах Применение тригонометрических соотношений для вычисления углов Использование теорем синусов и косинусов для произвольных треугольников