Задание 11 ЕГЭ по базовой математике 2025: Стереометрия

Задание 11 в ЕГЭ по базовой математике проверяет знание основных понятий и формул стереометрии, а также умение применять их для решения простых задач. Это задание требует пространственного воображения и понимания свойств геометрических тел.

Теория для подготовки к заданию

Задание 11 в ЕГЭ по базовой математике относится к базовому уровню сложности и проверяет знание основных понятий и формул стереометрии. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства основных геометрических тел (призма, пирамида, цилиндр, конус, шар), уметь вычислять их объемы и площади поверхностей, а также применять эти знания для решения простых задач.

Основные понятия и формулы стереометрии

Призма

Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммами.

• Объем призмы: V = Sh, где S — площадь основания, h — высота призмы
• Площадь боковой поверхности прямой призмы: S_бок = Ph, где P — периметр основания, h — высота призмы
• Площадь полной поверхности призмы: S_полн = S_бок + 2S_осн, где S_бок — площадь боковой поверхности, S_осн — площадь основания

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это призма, основанием которой является прямоугольник.

• Объем прямоугольного параллелепипеда: V = abc, где a, b, c — длины ребер
• Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac), где a, b, c — длины ребер
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d = √(a² + b² + c²), где a, b, c — длины ребер

Куб

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

• Объем куба: V = a³, где a — длина ребра
• Площадь поверхности куба: S = 6a², где a — длина ребра
• Диагональ куба: d = a√3, где a — длина ребра

Пирамида

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (основание) — многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной.

• Объем пирамиды: V = ⅓Sh, где S — площадь основания, h — высота пирамиды
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S_бок = ½Pl, где P — периметр основания, l — апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды)
• Площадь полной поверхности пирамиды: S_полн = S_бок + S_осн, где S_бок — площадь боковой поверхности, S_осн — площадь основания

Цилиндр

Цилиндр — это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями (основаниями).

• Объем цилиндра: V = πR²h, где R — радиус основания, h — высота цилиндра
• Площадь боковой поверхности цилиндра: S_бок = 2πRh, где R — радиус основания, h — высота цилиндра
• Площадь полной поверхности цилиндра: S_полн = S_бок + 2πR² = 2πR(h + R), где R — радиус основания, h — высота цилиндра

Конус

Конус — это тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью (основанием).

• Объем конуса: V = ⅓πR²h, где R — радиус основания, h — высота конуса
• Площадь боковой поверхности конуса: S_бок = πRl, где R — радиус основания, l — образующая конуса
• Площадь полной поверхности конуса: S_полн = S_бок + πR² = πR(l + R), где R — радиус основания, l — образующая конуса
• Образующая конуса: l = √(R² + h²), где R — радиус основания, h — высота конуса

Шар

Шар — это тело, ограниченное сферой.

• Объем шара: V = ⅘πR³, где R — радиус шара
• Площадь поверхности шара (сферы): S = 4πR², где R — радиус шара

Алгоритм решения задач по стереометрии

1. Внимательно прочитать условие задачи и определить, о каком геометрическом теле идет речь
2. Выделить известные величины и определить, какие формулы нужно применить для нахождения искомых величин
3. При необходимости сделать чертеж, который поможет лучше понять условие задачи
4. Выполнить необходимые вычисления, следя за правильностью применения формул и единицами измерения
5. Проверить полученный результат на соответствие условию задачи и здравому смыслу
6. Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении задач по стереометрии

Типичные ошибки при решении задач по стереометрии связаны с неправильным определением типа геометрического тела, ошибками в вычислениях, а также с неверным применением формул. Поэтому важно внимательно анализировать геометрическую ситуацию, правильно выбирать формулы и аккуратно выполнять вычисления.

Примеры задач

Основные приемы для решения задач по стереометрии

Тип задачи	Приемы решения
Задачи на нахождение объемов тел	Использование формул для вычисления объемов различных тел Разбиение сложного тела на простые (параллелепипеды, пирамиды, цилиндры и т.д.) Использование отношений объемов подобных тел Применение принципа Кавальери для сравнения объемов тел
Задачи на нахождение площадей поверхностей	Использование формул для вычисления площадей поверхностей различных тел Разбиение поверхности на простые части (прямоугольники, треугольники, круги и т.д.) Использование отношений площадей подобных тел
Задачи на нахождение линейных размеров	Использование формул, связывающих линейные размеры с объемами и площадями Применение теоремы Пифагора и тригонометрических соотношений Использование свойств подобия тел
Задачи на комбинации тел	Разбиение комбинации на отдельные тела и нахождение их характеристик Использование свойств вписанных и описанных тел Применение принципа аддитивности объемов и площадей