Задание 12 ЕГЭ по базовой математике 2025: Планиметрия

Задание 12 в ЕГЭ по базовой математике проверяет знание основных понятий и формул планиметрии, а также умение применять их для решения простых задач. Это задание требует знания свойств геометрических фигур на плоскости и умения выполнять геометрические построения.

Теория для подготовки к заданию

Задание 12 в ЕГЭ по базовой математике относится к базовому уровню сложности и проверяет знание основных понятий и формул планиметрии. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства основных геометрических фигур на плоскости (треугольники, четырехугольники, окружности), уметь вычислять их площади и периметры, а также применять эти знания для решения простых задач.

Основные понятия и формулы планиметрии

Треугольники

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Сумма углов треугольника равна 180°
Площадь треугольника: S = ½ah, где a — длина стороны, h — высота, проведенная к этой стороне
Площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника, a, b, c — длины сторон
Радиус вписанной окружности: r = S/p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр
Радиус описанной окружности: R = abc/(4S), где a, b, c — длины сторон, S — площадь треугольника

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (90°).

Теорема Пифагора: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты
Площадь прямоугольного треугольника: S = ½ab, где a и b — катеты
Синус острого угла: sin α = противолежащий катет / гипотенуза
Косинус острого угла: cos α = прилежащий катет / гипотенуза
Тангенс острого угла: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны
Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.

Все углы равностороннего треугольника равны 60°
Площадь равностороннего треугольника: S = (√3/4)a², где a — длина стороны
Высота равностороннего треугольника: h = (√3/2)a, где a — длина стороны
Радиус вписанной окружности: r = a/(2√3), где a — длина стороны
Радиус описанной окружности: R = a/√3, где a — длина стороны

Четырехугольники

Четырехугольник — это геометрическая фигура, образованная четырьмя отрезками, которые соединяют четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Сумма углов четырехугольника равна 360°

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Противоположные стороны параллелограмма равны
Противоположные углы параллелограмма равны
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Площадь параллелограмма: S = ah, где a — длина стороны, h — высота, проведенная к этой стороне

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (90°).

Все углы прямоугольника равны 90°
Диагонали прямоугольника равны
Площадь прямоугольника: S = ab, где a и b — длины сторон

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Все стороны ромба равны
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
Площадь ромба: S = ½d₁d₂, где d₁ и d₂ — длины диагоналей

Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Все стороны квадрата равны
Все углы квадрата равны 90°
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам
Площадь квадрата: S = a², где a — длина стороны
Диагональ квадрата: d = a√2, где a — длина стороны

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Площадь трапеции: S = ½(a + b)h, где a и b — длины оснований, h — высота
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: m = (a + b)/2

Окружность

Окружность — это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки (центра окружности).

Длина окружности: C = 2πR, где R — радиус
Площадь круга: S = πR², где R — радиус
Длина дуги окружности: L = αR, где α — величина центрального угла в радианах, R — радиус
Площадь сектора: S = ½αR², где α — величина центрального угла в радианах, R — радиус

Важно!

При решении задач по планиметрии необходимо внимательно анализировать геометрическую ситуацию, правильно определять тип геометрической фигуры и применять соответствующие формулы. Также важно помнить о единицах измерения и правильно выполнять вычисления.

Алгоритм решения задач по планиметрии

Внимательно прочитать условие задачи и определить, о какой геометрической фигуре идет речь
Выделить известные величины и определить, какие формулы нужно применить для нахождения искомых величин
При необходимости сделать чертеж, который поможет лучше понять условие задачи
Выполнить необходимые вычисления, следя за правильностью применения формул и единицами измерения
Проверить полученный результат на соответствие условию задачи и здравому смыслу
Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении задач по планиметрии

Типичные ошибки при решении задач по планиметрии связаны с неправильным определением типа геометрической фигуры, ошибками в вычислениях, а также с неверным применением формул. Поэтому важно внимательно анализировать геометрическую ситуацию, правильно выбирать формулы и аккуратно выполнять вычисления.

Примеры задач

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.

Ответ: 24

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

S = ½ab, где a и b — катеты

Подставим известные значения:

S = ½ · 6 см · 8 см = 24 см²

Ответ: 24 см²

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 12 см.

Ответ: 60

Площадь ромба вычисляется по формуле:

S = ½d₁d₂, где d₁ и d₂ — длины диагоналей

Подставим известные значения:

S = ½ · 10 см · 12 см = 60 см²

Ответ: 60 см²

Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 7 см и 13 см, а высота равна 5 см.

Ответ: 50

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

S = ½(a + b)h, где a и b — длины оснований, h — высота

Подставим известные значения:

S = ½(7 см + 13 см) · 5 см = ½ · 20 см · 5 см = 50 см²

Ответ: 50 см²

Основные приемы для решения задач по планиметрии

Тип задачи	Приемы решения
Задачи на нахождение площадей фигур	Использование формул для вычисления площадей различных фигур Разбиение сложной фигуры на простые (треугольники, прямоугольники и т.д.) Использование координатного метода для вычисления площадей фигур на координатной плоскости
Задачи на нахождение периметров и длин	Использование формул для вычисления периметров различных фигур Применение теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников Использование свойств равнобедренных и равносторонних треугольников Применение формул для вычисления длин дуг окружности
Задачи на нахождение углов	Использование свойств углов в различных геометрических фигурах Применение теорем о сумме углов в треугольнике и четырехугольнике Использование свойств вписанных и центральных углов в окружности
Задачи на окружности	Использование свойств касательных и секущих к окружности Применение теорем о вписанных и описанных окружностях Использование формул для вычисления длин окружностей и площадей кругов