Задание 17 ЕГЭ по базовой математике 2025: Уравнения

Задание 17 в ЕГЭ по базовой математике проверяет умение решать уравнения различных типов. Это задание требует знания методов решения линейных, квадратных, рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений, а также умения применять эти методы для решения конкретных задач.

Теория для подготовки к заданию

Задание 17 в ЕГЭ по базовой математике относится к базовому уровню сложности и проверяет умение решать уравнения различных типов. Для успешного решения таких задач необходимо знать методы решения различных типов уравнений и уметь применять эти методы для решения конкретных задач.

Основные типы уравнений и методы их решения

Линейные уравнения

Линейное уравнение имеет вид ax + b = 0, где a и b — числа, a ≠ 0.

Решение: x = -b/a

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, a ≠ 0.

Дискриминант: D = b² - 4ac

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня: x₁ = (-b + √D) / (2a), x₂ = (-b - √D) / (2a)

Если D = 0, то уравнение имеет один корень (кратности 2): x = -b / (2a)

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение — это уравнение, которое может быть представлено в виде отношения двух многочленов, приравненного к нулю.

Метод решения:

1. Привести уравнение к виду P(x)/Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) — многочлены
2. Найти корни числителя P(x) = 0
3. Проверить, не обращается ли знаменатель Q(x) в нуль при найденных значениях x
4. Исключить из ответа значения x, при которых Q(x) = 0

Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня.

Метод решения:

1. Выполнить преобразования, чтобы выделить радикал
2. Возвести обе части уравнения в степень, равную показателю корня
3. Решить полученное уравнение
4. Проверить найденные корни подстановкой в исходное уравнение (возможно появление посторонних корней)

Показательные уравнения

Показательное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную в показателе степени.

Основные методы решения:

1. Приведение к одному основанию: если a^f(x) = a^g(x), то f(x) = g(x)
2. Введение новой переменной: если уравнение можно представить в виде a^u = b, где u = f(x), то решаем уравнение относительно u, а затем находим x
3. Логарифмирование: если a^f(x) = b, то f(x) = log_a(b)

Логарифмические уравнения

Логарифмическое уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную под знаком логарифма или в основании логарифма.

Основные методы решения:

1. Использование свойств логарифмов для преобразования уравнения
2. Потенцирование: если log_a(f(x)) = b, то f(x) = a^b
3. Введение новой переменной: если уравнение можно представить в виде log_a(u) = log_a(v), где u = f(x), v = g(x), то u = v

Алгоритм решения уравнений

1. Определить тип уравнения и выбрать соответствующий метод решения
2. Найти область определения уравнения
3. Выполнить преобразования, упрощающие уравнение
4. Решить полученное уравнение
5. Проверить найденные корни подстановкой в исходное уравнение
6. Исключить из ответа значения, не входящие в область определения исходного уравнения
7. Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении уравнений

Типичные ошибки при решении уравнений связаны с неправильным определением типа уравнения, ошибками в преобразованиях, неучетом области определения уравнения, а также с отсутствием проверки найденных корней. Поэтому важно внимательно выполнять все этапы решения уравнения и проверять полученные результаты.

Примеры задач

Основные приемы для решения уравнений

Тип уравнения	Приемы решения
Линейные уравнения	Выделение неизвестной Перенос всех членов с неизвестной в левую часть, а всех свободных членов — в правую Приведение подобных членов
Квадратные уравнения	Использование формулы дискриминанта Разложение на множители Выделение полного квадрата Использование теоремы Виета
Рациональные уравнения	Приведение к общему знаменателю Умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель Разложение на множители Проверка найденных корней
Иррациональные уравнения	Выделение радикала Возведение обеих частей уравнения в степень Проверка найденных корней Учет области определения
Показательные уравнения	Приведение к одному основанию Логарифмирование Введение новой переменной Использование свойств степеней
Логарифмические уравнения	Использование свойств логарифмов Потенцирование Введение новой переменной Учет области определения Проверка найденных корней