Задание 18 ЕГЭ по базовой математике 2025: Числа и неравенства

Задание 18 в ЕГЭ по базовой математике проверяет умение решать неравенства различных типов и выполнять действия с числами. Это задание требует знания методов решения линейных, квадратных, рациональных, показательных и логарифмических неравенств, а также умения выполнять действия с числами и оценивать числовые выражения.

Теория для подготовки к заданию

Задание 18 в ЕГЭ по базовой математике относится к базовому уровню сложности и проверяет умение решать неравенства различных типов и выполнять действия с числами. Для успешного решения таких задач необходимо знать методы решения различных типов неравенств и уметь выполнять действия с числами.

Основные типы неравенств и методы их решения

Линейные неравенства

Линейное неравенство имеет вид ax + b > 0 (или <, ≥, ≤), где a и b — числа, a ≠ 0.

Метод решения:

1. Привести неравенство к виду ax + b > 0
2. Если a > 0, то x > -b/a
3. Если a < 0, то x < -b/a

Квадратные неравенства

Квадратное неравенство имеет вид ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤), где a, b и c — числа, a ≠ 0.

Метод решения:

1. Найти дискриминант: D = b² - 4ac
2. Найти корни соответствующего квадратного уравнения (если они существуют): x₁ = (-b + √D) / (2a), x₂ = (-b - √D) / (2a)
3. Определить знак выражения ax² + bx + c на каждом из интервалов, на которые корни делят числовую прямую
4. Выбрать те интервалы, на которых выполняется требуемое неравенство

Рациональные неравенства

Рациональное неравенство — это неравенство, которое может быть представлено в виде отношения двух многочленов, удовлетворяющего определенному условию.

Метод решения:

1. Привести неравенство к виду P(x)/Q(x) > 0 (или <, ≥, ≤), где P(x) и Q(x) — многочлены
2. Найти корни числителя P(x) = 0 и знаменателя Q(x) = 0
3. Отметить на числовой прямой все найденные корни и точки разрыва
4. Определить знак выражения P(x)/Q(x) на каждом из интервалов, на которые корни и точки разрыва делят числовую прямую
5. Выбрать те интервалы, на которых выполняется требуемое неравенство

Показательные неравенства

Показательное неравенство — это неравенство, содержащее неизвестную в показателе степени.

Основные методы решения:

1. Приведение к одному основанию: если a > 1, то из a^f(x) > a^g(x) следует f(x) > g(x); если 0 < a < 1, то из a^f(x) > a^g(x) следует f(x) < g(x)
2. Введение новой переменной: если неравенство можно представить в виде a^u > b, где u = f(x), то решаем неравенство относительно u, а затем находим x
3. Логарифмирование: если a^f(x) > b, то f(x) > log_a(b) при a > 1 и f(x) < log_a(b) при 0 < a < 1

Логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство — это неравенство, содержащее неизвестную под знаком логарифма или в основании логарифма.

Основные методы решения:

1. Использование свойств логарифмов для преобразования неравенства
2. Потенцирование: если log_a(f(x)) > b, то f(x) > a^b при a > 1 и f(x) < a^b при 0 < a < 1
3. Введение новой переменной: если неравенство можно представить в виде log_a(u) > log_a(v), где u = f(x), v = g(x), то u > v при a > 1 и u < v при 0 < a < 1

Основные числовые множества

Натуральные числа (N)

Натуральные числа — это числа, используемые для счета предметов: 1, 2, 3, ...

Целые числа (Z)

Целые числа — это натуральные числа, нуль и отрицательные целые числа: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Рациональные числа (Q)

Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби m/n, где m — целое число, n — натуральное число.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это действительные числа, которые не могут быть представлены в виде дроби m/n, где m — целое число, n — натуральное число. Примеры: √2, π, e.

Действительные числа (R)

Действительные числа — это объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Алгоритм решения неравенств

1. Определить тип неравенства и выбрать соответствующий метод решения
2. Найти область определения неравенства
3. Выполнить преобразования, упрощающие неравенство
4. Решить полученное неравенство
5. Исключить из ответа значения, не входящие в область определения исходного неравенства
6. Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении неравенств

Типичные ошибки при решении неравенств связаны с неправильным определением типа неравенства, ошибками в преобразованиях, неучетом области определения неравенства, а также с неверным определением знака выражения на различных интервалах. Поэтому важно внимательно выполнять все этапы решения неравенства и проверять полученные результаты.

Примеры задач

Основные приемы для решения неравенств

Тип неравенства	Приемы решения
Линейные неравенства	Приведение к виду ax + b > 0 Учет знака коэффициента a при переносе b в правую часть Использование свойств неравенств при умножении или делении на отрицательное число
Квадратные неравенства	Использование формулы дискриминанта Разложение на множители Метод интервалов Учет направления ветвей параболы
Рациональные неравенства	Приведение к виду P(x)/Q(x) > 0 Метод интервалов Учет знаков числителя и знаменателя на каждом интервале Учет области определения неравенства
Показательные неравенства	Приведение к одному основанию Логарифмирование Введение новой переменной Учет свойств показательной функции
Логарифмические неравенства	Использование свойств логарифмов Потенцирование Введение новой переменной Учет области определения логарифмов Учет свойств логарифмической функции