Задание 20 в ЕГЭ по базовой математике проверяет умение решать нестандартные задачи, требующие смекалки и логического мышления. Это задание требует умения анализировать условие задачи, выделять существенные связи и отношения, а также применять различные методы решения в зависимости от типа задачи.
Задание 20 в ЕГЭ по базовой математике относится к повышенному уровню сложности и проверяет умение решать нестандартные задачи, требующие смекалки и логического мышления. Для успешного решения таких задач необходимо уметь анализировать условие задачи, выделять существенные связи и отношения, а также применять различные методы решения в зависимости от типа задачи.
В таких задачах требуется применить логические рассуждения для решения проблемы. Часто в таких задачах нужно определить истинность или ложность некоторых утверждений, исходя из заданных условий.
Принцип Дирихле (или принцип ящиков) утверждает, что если n предметов разложить по m ящикам, и n > m, то хотя бы в одном ящике окажется более одного предмета. В задачах на принцип Дирихле нужно применить этот принцип для доказательства существования объекта с определенными свойствами.
В таких задачах требуется определить фальшивую монету или найти предмет с определенным весом, используя ограниченное количество взвешиваний на чашечных весах.
В таких задачах требуется получить определенный объем жидкости, используя сосуды известной вместимости и выполняя операции наполнения, опустошения и переливания.
В таких задачах требуется разрезать фигуру на части определенной формы или раскрасить фигуру определенным образом, удовлетворяя заданным условиям.
В таких задачах требуется построить граф, удовлетворяющий определенным условиям, или определить свойства заданного графа.
Метод перебора заключается в последовательном переборе всех возможных вариантов и проверке каждого варианта на соответствие условиям задачи. Этот метод эффективен, когда количество вариантов невелико.
Метод исключения заключается в последовательном исключении вариантов, не удовлетворяющих условиям задачи, до тех пор, пока не останется единственный вариант, который и будет решением.
Метод от противного заключается в предположении, что утверждение, которое нужно доказать, неверно, и выводе из этого предположения противоречия. Это доказывает, что исходное утверждение верно.
Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, зависящих от натурального параметра. Он состоит из двух шагов: базы индукции (доказательства утверждения для начального значения параметра) и индукционного перехода (доказательства того, что если утверждение верно для некоторого значения параметра, то оно верно и для следующего значения).
При решении задач на смекалку необходимо внимательно анализировать условие задачи, выделять все существенные связи и отношения, а также применять различные методы решения в зависимости от типа задачи. Часто для решения таких задач требуется нестандартный подход и творческое мышление.
Типичные ошибки при решении задач на смекалку связаны с неправильным пониманием условия задачи, неучетом всех существенных связей и отношений, а также с неверным выбором метода решения. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и применять различные методы решения в зависимости от типа задачи.
В коробке лежат 5 синих, 7 красных и 9 зеленых шаров. Какое наименьшее количество шаров нужно вынуть из коробки, не глядя на их цвет, чтобы среди них гарантированно оказалось не менее 3 шаров одного цвета?
Ответ: 7
Для решения этой задачи применим принцип Дирихле.
У нас есть 3 цвета шаров: синий, красный и зеленый. Если мы вынем 7 шаров, то по принципу Дирихле хотя бы один цвет будет представлен не менее чем 3 шарами (так как 7 / 3 > 2).
Проверим, что 6 шаров недостаточно. Действительно, если мы вынем 2 синих, 2 красных и 2 зеленых шара, то у нас будет 6 шаров, но среди них не будет 3 шаров одного цвета.
Таким образом, наименьшее количество шаров, которое нужно вынуть, чтобы гарантированно получить не менее 3 шаров одного цвета, равно 7.
Ответ: 7
У Пети есть два сосуда: один вместимостью 5 литров, другой — вместимостью 3 литра. Как с помощью этих сосудов набрать из водопроводного крана ровно 4 литра воды?
Ответ: Наполнить 5-литровый сосуд, перелить из него в 3-литровый сосуд, вылить воду из 3-литрового сосуда, снова перелить из 5-литрового сосуда в 3-литровый сосуд. В 5-литровом сосуде останется 4 литра воды.
Для решения этой задачи будем последовательно выполнять операции наполнения, опустошения и переливания.
1. Наполним 5-литровый сосуд водой из крана. Теперь у нас 5 литров в 5-литровом сосуде и 0 литров в 3-литровом сосуде.
2. Перельем воду из 5-литрового сосуда в 3-литровый сосуд. Теперь у нас 2 литра в 5-литровом сосуде и 3 литра в 3-литровом сосуде.
3. Выльем воду из 3-литрового сосуда. Теперь у нас 2 литра в 5-литровом сосуде и 0 литров в 3-литровом сосуде.
4. Перельем воду из 5-литрового сосуда в 3-литровый сосуд. Теперь у нас 0 литров в 5-литровом сосуде и 2 литра в 3-литровом сосуде.
5. Наполним 5-литровый сосуд водой из крана. Теперь у нас 5 литров в 5-литровом сосуде и 2 литра в 3-литровом сосуде.
6. Перельем воду из 5-литрового сосуда в 3-литровый сосуд, пока он не наполнится. Так как в 3-литровом сосуде уже есть 2 литра, мы можем долить туда только 1 литр. Теперь у нас 4 литра в 5-литровом сосуде и 3 литра в 3-литровом сосуде.
Таким образом, мы получили 4 литра воды в 5-литровом сосуде.
Ответ: Наполнить 5-литровый сосуд, перелить из него в 3-литровый сосуд, вылить воду из 3-литрового сосуда, перелить оставшиеся 2 литра из 5-литрового сосуда в 3-литровый сосуд, снова наполнить 5-литровый сосуд, перелить из него в 3-литровый сосуд до полного заполнения последнего. В 5-литровом сосуде останется 4 литра воды.
На столе лежат 15 монет, из которых 4 фальшивые. Фальшивые монеты легче настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить хотя бы одну настоящую монету?
Ответ: Разделить монеты на три группы по 5 монет и взвесить две группы. Если весы в равновесии, то в обеих группах одинаковое количество фальшивых монет, и поскольку всего фальшивых монет 4, то в каждой из этих групп не более 2 фальшивых монет, значит, в каждой группе есть хотя бы 3 настоящие монеты. Если весы не в равновесии, то в более легкой группе больше фальшивых монет. Взять из более тяжелой группы 3 монеты и взвесить две из них. Если весы в равновесии, то обе монеты одинаковые (либо обе настоящие, либо обе фальшивые), но поскольку эти монеты из более тяжелой группы, то они настоящие. Если весы не в равновесии, то более тяжелая монета настоящая.
Для решения этой задачи будем использовать метод исключения.
Разделим 15 монет на три группы по 5 монет в каждой: группа A, группа B и группа C.
Первое взвешивание: сравним группы A и B.
Возможны два случая:
Случай 1: Весы в равновесии. Это означает, что в группах A и B одинаковое количество фальшивых монет. Поскольку всего фальшивых монет 4, то в группах A и B вместе не более 4 фальшивых монет, то есть в каждой из этих групп не более 2 фальшивых монет. Значит, в каждой из групп A и B есть хотя бы 3 настоящие монеты. Возьмем любую монету из группы A или B, и она с вероятностью не менее 3/5 будет настоящей.
Но это не гарантирует, что выбранная монета настоящая. Поэтому нужно использовать второе взвешивание.
Второе взвешивание: возьмем три монеты из группы A и сравним две из них.
Если весы в равновесии, то обе монеты одинаковые (либо обе настоящие, либо обе фальшивые). Но поскольку в группе A не более 2 фальшивых монет, то среди трех выбранных монет есть хотя бы одна настоящая. Если две монеты, которые мы взвесили, оказались одинаковыми, и при этом в группе A не более 2 фальшивых монет, то эти две монеты настоящие.
Если весы не в равновесии, то более тяжелая монета настоящая.
Случай 2: Весы не в равновесии. Пусть группа A тяжелее группы B. Это означает, что в группе A меньше фальшивых монет, чем в группе B. Поскольку всего фальшивых монет 4, то в группе A не более 1 фальшивой монеты, то есть в группе A есть хотя бы 4 настоящие монеты.
Второе взвешивание: возьмем три монеты из группы A и сравним две из них.
Если весы в равновесии, то обе монеты одинаковые (либо обе настоящие, либо обе фальшивые). Но поскольку в группе A не более 1 фальшивой монеты, то среди трех выбранных монет есть хотя бы две настоящие. Если две монеты, которые мы взвесили, оказались одинаковыми, и при этом в группе A не более 1 фальшивой монеты, то эти две монеты настоящие.
Если весы не в равновесии, то более тяжелая монета настоящая.
Таким образом, за два взвешивания мы гарантированно определим хотя бы одну настоящую монету.
Ответ: Разделить монеты на три группы по 5 монет и взвесить две группы. Если весы в равновесии, то в обеих группах одинаковое количество фальшивых монет, и поскольку всего фальшивых монет 4, то в каждой из этих групп не более 2 фальшивых монет, значит, в каждой группе есть хотя бы 3 настоящие монеты. Взять из одной из этих групп 3 монеты и взвесить две из них. Если весы в равновесии, то обе монеты одинаковые (либо обе настоящие, либо обе фальшивые), но поскольку в группе не более 2 фальшивых монет, то эти две монеты настоящие. Если весы не в равновесии, то более тяжелая монета настоящая. Если при первом взвешивании весы не в равновесии, то в более тяжелой группе меньше фальшивых монет. Взять из более тяжелой группы 3 монеты и взвесить две из них. Если весы в равновесии, то обе монеты одинаковые, но поскольку в более тяжелой группе меньше фальшивых монет, то эти две монеты настоящие. Если весы не в равновесии, то более тяжелая монета настоящая.
| Тип задачи | Приемы решения |
|---|---|
| Задачи на логические рассуждения |
Построение логических цепочек Использование таблиц истинности Метод исключения Метод от противного |
| Задачи на принцип Дирихле |
Определение "ящиков" и "предметов" Подсчет среднего количества предметов в ящике Доказательство существования ящика с определенным количеством предметов |
| Задачи на взвешивания |
Разделение предметов на группы Сравнение групп предметов Исключение групп предметов Использование результатов предыдущих взвешиваний |
| Задачи на переливания |
Составление таблицы состояний Использование операций наполнения, опустошения и переливания Поиск кратчайшей последовательности операций |
| Задачи на разрезания и раскраски |
Использование свойств четности Использование свойств симметрии Построение конструктивных примеров Доказательство невозможности |
| Задачи на графы |
Построение графа, соответствующего условию задачи Использование свойств графов (связность, цикличность, планарность и т.д.) Использование алгоритмов на графах (поиск в ширину, поиск в глубину, поиск кратчайшего пути и т.д.) |