Задание 21 ЕГЭ по базовой математике 2025: Практические задачи по геометрии

Задание 21 в ЕГЭ по базовой математике проверяет умение решать практические задачи по геометрии. Это задание требует знания основных геометрических формул и умения применять их для решения практических задач, связанных с вычислением площадей, объемов, расстояний и других геометрических величин.

Теория для подготовки к заданию

Задание 21 в ЕГЭ по базовой математике относится к повышенному уровню сложности и проверяет умение решать практические задачи по геометрии. Для успешного решения таких задач необходимо знать основные геометрические формулы и уметь применять их для решения практических задач.

Основные геометрические формулы

Формулы для вычисления площадей плоских фигур

• Площадь прямоугольника: S = a · b, где a и b — длины сторон прямоугольника
• Площадь квадрата: S = a², где a — длина стороны квадрата
• Площадь параллелограмма: S = a · h, где a — длина стороны параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне
• Площадь треугольника: S = (1/2) · a · h, где a — длина стороны треугольника, h — высота, проведенная к этой стороне
• Площадь треугольника через полупериметр (формула Герона): S = √(p · (p - a) · (p - b) · (p - c)), где p = (a + b + c) / 2 — полупериметр треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника
• Площадь трапеции: S = (1/2) · (a + b) · h, где a и b — длины оснований трапеции, h — высота трапеции
• Площадь ромба: S = (1/2) · d₁ · d₂, где d₁ и d₂ — длины диагоналей ромба
• Площадь круга: S = π · r², где r — радиус круга
• Площадь сектора круга: S = (1/2) · r² · α, где r — радиус круга, α — величина центрального угла в радианах

Формулы для вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных фигур

• Объем прямоугольного параллелепипеда: V = a · b · c, где a, b, c — длины ребер параллелепипеда
• Объем куба: V = a³, где a — длина ребра куба
• Объем призмы: V = S_осн · h, где S_осн — площадь основания призмы, h — высота призмы
• Объем пирамиды: V = (1/3) · S_осн · h, где S_осн — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды
• Объем цилиндра: V = π · r² · h, где r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра
• Объем конуса: V = (1/3) · π · r² · h, где r — радиус основания конуса, h — высота конуса
• Объем шара: V = (4/3) · π · r³, где r — радиус шара
• Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2 · (a · b + a · c + b · c), где a, b, c — длины ребер параллелепипеда
• Площадь поверхности куба: S = 6 · a², где a — длина ребра куба
• Площадь поверхности цилиндра: S = 2 · π · r · (r + h), где r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра
• Площадь поверхности конуса: S = π · r · (r + l), где r — радиус основания конуса, l — образующая конуса
• Площадь поверхности шара: S = 4 · π · r², где r — радиус шара

Формулы для вычисления расстояний и углов

• Расстояние между двумя точками на плоскости: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) — координаты точек
• Расстояние между двумя точками в пространстве: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²), где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) — координаты точек
• Расстояние от точки до прямой на плоскости: d = |A · x₀ + B · y₀ + C| / √(A² + B²), где A · x + B · y + C = 0 — уравнение прямой, (x₀, y₀) — координаты точки
• Угол между двумя прямыми на плоскости: tg(α) = |k₂ - k₁| / |1 + k₁ · k₂|, где k₁ и k₂ — угловые коэффициенты прямых
• Угол между двумя векторами: cos(α) = (a · b) / (|a| · |b|), где a и b — векторы, (a · b) — скалярное произведение векторов, |a| и |b| — длины векторов

Основные типы практических задач по геометрии

Задачи на вычисление площадей

В таких задачах требуется вычислить площадь фигуры, используя заданные размеры или другие параметры. Часто в таких задачах нужно разбить сложную фигуру на простые части и вычислить площадь каждой части.

Задачи на вычисление объемов

В таких задачах требуется вычислить объем тела, используя заданные размеры или другие параметры. Часто в таких задачах нужно разбить сложное тело на простые части и вычислить объем каждой части.

Задачи на вычисление расстояний

В таких задачах требуется вычислить расстояние между двумя точками, расстояние от точки до прямой или расстояние от точки до плоскости.

Задачи на вычисление углов

В таких задачах требуется вычислить угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью или угол между двумя плоскостями.

Задачи на оптимизацию

В таких задачах требуется найти оптимальное решение (например, минимальное расстояние или максимальную площадь) при заданных ограничениях.

Алгоритм решения практических задач по геометрии

1. Внимательно прочитать условие задачи и определить, какие геометрические объекты и величины в ней фигурируют
2. Построить чертеж, который поможет лучше понять условие задачи
3. Выделить все данные и величины, которые нужно найти
4. Выбрать подходящие формулы и методы решения
5. Выполнить необходимые вычисления
6. Проверить полученный результат на соответствие условию задачи и здравому смыслу
7. Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении практических задач по геометрии

Типичные ошибки при решении практических задач по геометрии связаны с неправильным пониманием условия задачи, ошибками в построении чертежа, неверным выбором формул и методов решения, а также с ошибками в вычислениях. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи, строить точный чертеж, выбирать подходящие формулы и методы решения, а также проверять полученные результаты.

Примеры задач

Основные приемы для решения практических задач по геометрии

Тип задачи	Приемы решения
Задачи на вычисление площадей	Разбиение сложной фигуры на простые части Использование формул для вычисления площадей простых фигур Использование координатного метода Использование свойств подобия и пропорциональности
Задачи на вычисление объемов	Разбиение сложного тела на простые части Использование формул для вычисления объемов простых тел Использование принципа Кавальери Использование интегрального исчисления (для сложных тел)
Задачи на вычисление расстояний	Использование теоремы Пифагора Использование формул для вычисления расстояний между точками Использование векторного метода Использование координатного метода
Задачи на вычисление углов	Использование свойств параллельных и перпендикулярных прямых Использование тригонометрических функций Использование векторного метода Использование координатного метода
Задачи на оптимизацию	Использование производной для нахождения экстремумов функции Использование метода Лагранжа для нахождения условных экстремумов Использование геометрических свойств фигур Использование принципа симметрии