Шаг 1
Можно ли получить пару $(5;5)$?
Решаем систему: $3a+b=5$ и $3b-a=5$.
Из первого уравнения $b=5-3a$. Подставляем во второе: $3(5-3a)-a=5 \Rightarrow 15-10a=5 \Rightarrow a=1$. Тогда $b=5-3\cdot1=2$.
Решаем систему: $3a+b=5$ и $3b-a=5$.
Из первого уравнения $b=5-3a$. Подставляем во второе: $3(5-3a)-a=5 \Rightarrow 15-10a=5 \Rightarrow a=1$. Тогда $b=5-3\cdot1=2$.
Результат:
Да, пара $(5;5)$ получается из пары $(1;2)$.
Шаг 2
Верно ли, что если $(c;d)$ получена из какой-то пары, то и $(-d;c)$ тоже?
Пусть $(c;d) = (3a+b, 3b-a)$ получена из $(a;b)$. Тогда $(-d;c) = (a-3b, 3a+b)$. Найдём пару $(u;v)$, из которой получается $(-d;c)$: $3u+v = a-3b$ и $3v-u = 3a+b$. Решая систему, находим $u=-b$, $v=a$. Проверка: $3(-b)+a = a-3b$ и $3a-(-b)=3a+b$. Значит, $(-d;c)$ получается из $(-b;a)$.
Пусть $(c;d) = (3a+b, 3b-a)$ получена из $(a;b)$. Тогда $(-d;c) = (a-3b, 3a+b)$. Найдём пару $(u;v)$, из которой получается $(-d;c)$: $3u+v = a-3b$ и $3v-u = 3a+b$. Решая систему, находим $u=-b$, $v=a$. Проверка: $3(-b)+a = a-3b$ и $3a-(-b)=3a+b$. Значит, $(-d;c)$ получается из $(-b;a)$.
Результат:
Да, утверждение верно.
Шаг 3
Наименьшее расстояние от $(9;2)$ до образа операции.
Если $(x;y)$ — образ пары $(a;b)$, то $x=3a+b$, $y=3b-a$. Выразим $a$ и $b$: $a=\frac{3x-y}{10}$, $b=\frac{x+3y}{10}$. Так как $a,b$ целые, $3x-y$ и $x+3y$ делятся на $10$, что эквивалентно $y \equiv 3x \text{ (mod 10)}$.
Расстояние: $d = |9-x| + |2-y|$. Ищем минимум при целых $x,y$, где $y \equiv 3x \text{ (mod 10)}$.
Переберём $x$ вблизи $9$:
- $x=9$: $y \equiv 27 \equiv 7 \text{ (mod 10)}$, ближайшие $y=7$ или $y=-3$. $d=|0|+|2-7|=5$, $d=|0|+|2-(-3)|=5$.
- $x=10$: $y \equiv 30 \equiv 0 \text{ (mod 10)}$, $y=0$. $d=|1|+|2|=3$.
- $x=8$: $y \equiv 24 \equiv 4 \text{ (mod 10)}$, $y=4$. $d=|1|+|2|=3$.
Меньше $3$ невозможно, так как $|9-x|+|2-y| \ge 1$ для любых целых $x \ne 9$ или $y \ne 2$, а пара $(9,2)$ не удовлетворяет условию $y \equiv 3x \text{ (mod 10)}$.
Если $(x;y)$ — образ пары $(a;b)$, то $x=3a+b$, $y=3b-a$. Выразим $a$ и $b$: $a=\frac{3x-y}{10}$, $b=\frac{x+3y}{10}$. Так как $a,b$ целые, $3x-y$ и $x+3y$ делятся на $10$, что эквивалентно $y \equiv 3x \text{ (mod 10)}$.
Расстояние: $d = |9-x| + |2-y|$. Ищем минимум при целых $x,y$, где $y \equiv 3x \text{ (mod 10)}$.
Переберём $x$ вблизи $9$:
- $x=9$: $y \equiv 27 \equiv 7 \text{ (mod 10)}$, ближайшие $y=7$ или $y=-3$. $d=|0|+|2-7|=5$, $d=|0|+|2-(-3)|=5$.
- $x=10$: $y \equiv 30 \equiv 0 \text{ (mod 10)}$, $y=0$. $d=|1|+|2|=3$.
- $x=8$: $y \equiv 24 \equiv 4 \text{ (mod 10)}$, $y=4$. $d=|1|+|2|=3$.
Меньше $3$ невозможно, так как $|9-x|+|2-y| \ge 1$ для любых целых $x \ne 9$ или $y \ne 2$, а пара $(9,2)$ не удовлетворяет условию $y \equiv 3x \text{ (mod 10)}$.
Результат:
Наименьшее расстояние равно $3$.
Окончательный ответ:
а) Да, из пары $(1;2)$; б) Да; в) $3$.