Шаг 1
Пример для суммы 32.
Расстановка: $1, 2, 3, 4, 12, 11, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Модули разностей: $1, 1, 1, 8, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 8$. Их сумма равна $32$.
Расстановка: $1, 2, 3, 4, 12, 11, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Модули разностей: $1, 1, 1, 8, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 8$. Их сумма равна $32$.
Шаг 2
Проверка возможности суммы 29.
Для любых чисел $a$ и $b$ верно: $|a-b| \equiv a+b \text{ (mod 2)}$. Сумма всех разностей $\equiv \sum (a+b) \equiv 2\sum a \equiv 0 \text{ (mod 2)}$. Значит, сумма всегда чётна. Число $29$ нечётно, поэтому такая сумма невозможна.
Для любых чисел $a$ и $b$ верно: $|a-b| \equiv a+b \text{ (mod 2)}$. Сумма всех разностей $\equiv \sum (a+b) \equiv 2\sum a \equiv 0 \text{ (mod 2)}$. Значит, сумма всегда чётна. Число $29$ нечётно, поэтому такая сумма невозможна.
Шаг 3
Нахождение наибольшей суммы.
Сумма разностей максимальна, когда соседние числа максимально удалены по величине. Пример: $1, 12, 2, 11, 3, 10, 4, 9, 5, 8, 6, 7$. Разности: $11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 4$. Их сумма равна $72$, и это максимальное значение.
Сумма разностей максимальна, когда соседние числа максимально удалены по величине. Пример: $1, 12, 2, 11, 3, 10, 4, 9, 5, 8, 6, 7$. Разности: $11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 4$. Их сумма равна $72$, и это максимальное значение.
Окончательный ответ:
$1,2,3,4,12,11,5,6,7,8,9,10$; Нет; $72$