🔍 Решение
Шаг 1
** Пусть трёхзначное число $A = 100x + 10y + z$, где $x$ — цифра сотен ($1 \le x \le 9$), $y$ и $z$ — цифры десятков и единиц ($0 \le y, z \le 9$). Сумма цифр $S = x + y + z$ делится на 11.
**
Шаг 2
** Рассмотрим $A + 7$. Изменение суммы цифр зависит от переносов при сложении.
- Если $z \le 2$, то $A+7 = \overline{xy(z+7)}$, сумма цифр $S' = S + 7$.
- Если $3 \le z \le 9$ и $y \le 8$, возникает перенос 1 в десятки: $A+7 = \overline{x(y+1)(z-3)}$, сумма цифр $S' = S - 2$.
- Если $y = 9$ и $z \ge 3$, то перенос идёт в сотни: $A+7 = \overline{(x+1)0(z-3)}$, сумма цифр $S' = (x+1) + 0 + (z-3) = x + z - 2 = S - 11$ (так как $y=9$).
**
Шаг 3
** Условия: $S$ делится на 11 и $S'$ делится на 11.
- В первом случае: $S \equiv 0$ (mod 11) и $S+7 \equiv 0$ (mod 11) $\Rightarrow$ $7 \equiv 0$ (mod 11) — невозможно.
- Во втором: $S \equiv 0$ и $S-2 \equiv 0$ (mod 11) $\Rightarrow$ $-2 \equiv 0$ (mod 11) — невозможно.
- В третьем: $S \equiv 0$ и $S-11 \equiv 0$ (mod 11) выполняется тождественно, так как $11 \equiv 0$ (mod 11).
Значит, подходит только случай $y=9$, $z \ge 3$.
**
Шаг 4
** При $y=9$ имеем $S = x + 9 + z$. $S$ кратно 11, и $11 \le S \le 27$, поэтому $S = 11$ или $S = 22$.
- $S=11$: $x+z=2$, но $z \ge 3$ — нет решений.
- $S=22$: $x+z=13$, $z \ge 3$, $x \le 9$.
Возможные пары $(x,z)$: $(4,9)$, $(5,8)$, $(6,7)$, $(7,6)$, $(8,5)$, $(9,4)$.
Проверяем $A$ и $A+7$:
$A=499$: сумма цифр 22, $A+7=506$ — сумма цифр 11.
$A=598$: сумма цифр 22, $A+7=605$ — сумма цифр 11.
$A=697$: сумма цифр 22, $A+7=704$ — сумма цифр 11.
$A=796$: сумма цифр 22, $A+7=803$ — сумма цифр 11.
$A=895$: сумма цифр 22, $A+7=902$ — сумма цифр 11.
$A=994$: сумма цифр 22, $A+7=1001$ — сумма цифр 2 (не делится на 11).
Исключаем $994$.
**
Окончательный ответ:
499