Шаг 1
Поместим треугольник в систему координат. Пусть вершина прямого угла $C(0,0)$, катет $CB$ лежит на оси $x$, а $CA$ — на оси $y$. Тогда $B(1,0)$, $A(0,\tan 21^\circ)$.
Шаг 2
Найдём координаты точек. Середина $AB$ — это медиана $CM$: $M\left(\frac{1}{2}, \frac{\tan 21^\circ}{2}\right)$. Биссектриса прямого угла имеет направляющий вектор $(1,1)$.
Шаг 3
Найдём угол между векторами биссектрисы $(1,1)$ и медианы $\left(\frac{1}{2}, \frac{\tan 21^\circ}{2}\right)$. Их скалярное произведение: $1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\tan 21^\circ}{2} = \frac{1 + \tan 21^\circ}{2}$.
Шаг 4
Найдём длины векторов. Длина биссектрисы: $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Длина медианы: $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\tan 21^\circ}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + \tan^2 21^\circ} = \frac{\sec 21^\circ}{2}$.
Шаг 5
Косинус искомого угла $\theta$:
$\cos \theta = \frac{\frac{1 + \tan 21^\circ}{2}}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sec 21^\circ}{2}} = \frac{1 + \tan 21^\circ}{\sqrt{2} \sec 21^\circ}$.
Упростим: $\cos \theta = \frac{1 + \tan 21^\circ}{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\cos 21^\circ}} = \frac{(1 + \tan 21^\circ) \cos 21^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\cos 21^\circ + \sin 21^\circ}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta = \frac{\frac{1 + \tan 21^\circ}{2}}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sec 21^\circ}{2}} = \frac{1 + \tan 21^\circ}{\sqrt{2} \sec 21^\circ}$.
Упростим: $\cos \theta = \frac{1 + \tan 21^\circ}{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\cos 21^\circ}} = \frac{(1 + \tan 21^\circ) \cos 21^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\cos 21^\circ + \sin 21^\circ}{\sqrt{2}}$.
Шаг 6
Заметим, что $\frac{\cos 21^\circ + \sin 21^\circ}{\sqrt{2}} = \sin 45^\circ \cos 21^\circ + \cos 45^\circ \sin 21^\circ = \sin(45^\circ + 21^\circ) = \sin 66^\circ = \cos 24^\circ$.
Следовательно, $\cos \theta = \cos 24^\circ$, и так как угол острый, $\theta = 24^\circ$.
Следовательно, $\cos \theta = \cos 24^\circ$, и так как угол острый, $\theta = 24^\circ$.
Результат:
Угол между биссектрисой и медианой равен $24^\circ$.
Окончательный ответ:
24