Текстовые задачи – это задачи, условие которых сформулировано в виде текста, описывающего некоторую ситуацию. В задании ЕГЭ по текстовым задачам проверяется умение анализировать условие задачи, строить математическую модель и находить решение с помощью математических методов.
Текстовые задачи в ЕГЭ обычно относятся к среднему уровню сложности и требуют умения переводить словесное описание ситуации на язык математики. Для успешного решения таких задач необходимо уметь анализировать условие задачи, выделять известные и неизвестные величины, устанавливать связи между ними и составлять уравнения или системы уравнений.
При решении текстовых задач необходимо обращать внимание на единицы измерения величин и на ограничения, которые могут быть наложены на искомые величины в контексте задачи. Также важно проверять полученное решение на соответствие здравому смыслу и исключать посторонние корни, которые не удовлетворяют условию задачи.
Типичные ошибки при решении текстовых задач связаны с неправильным пониманием условия задачи, ошибками при составлении уравнений, арифметическими ошибками в вычислениях, а также с неверной интерпретацией полученного результата. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и проверять полученное решение.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 120 км, выехал автомобиль. Через 1 час после этого из пункта A в том же направлении выехал второй автомобиль, который прибыл в пункт B одновременно с первым. Скорость второго автомобиля на 20 км/ч больше скорости первого. Найдите скорость первого автомобиля.
Ответ: 40 км/ч
Обозначим скорость первого автомобиля за v км/ч, тогда скорость второго автомобиля равна (v + 20) км/ч.
Время движения первого автомобиля: t₁ = 120/v (ч)
Время движения второго автомобиля: t₂ = 120/(v + 20) (ч)
По условию, второй автомобиль выехал на 1 час позже, но прибыл одновременно с первым, значит:
t₁ = t₂ + 1
120/v = 120/(v + 20) + 1
120/v - 120/(v + 20) = 1
120(v + 20)/(v(v + 20)) - 120v/(v(v + 20)) = 1
120(v + 20 - v)/(v(v + 20)) = 1
120·20/(v(v + 20)) = 1
2400/(v(v + 20)) = 1
2400 = v(v + 20)
2400 = v² + 20v
v² + 20v - 2400 = 0
По формуле корней квадратного уравнения:
v = (-20 ± √(400 + 9600))/2 = (-20 ± √10000)/2 = (-20 ± 100)/2
v₁ = (-20 + 100)/2 = 40
v₂ = (-20 - 100)/2 = -60
Скорость не может быть отрицательной, поэтому v = 40 км/ч.
Первый насос наполняет бассейн за 7 часов, а второй – за 5 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если включить оба насоса одновременно?
Ответ: 2,92 часа
Обозначим объем бассейна за V.
Производительность первого насоса: V/7 (объем в час)
Производительность второго насоса: V/5 (объем в час)
Общая производительность: V/7 + V/5 = (5V + 7V)/35 = 12V/35 (объем в час)
Время наполнения бассейна: V / (12V/35) = 35/12 ≈ 2,92 часа
| Тип задачи | Основные формулы |
|---|---|
| Задачи на движение |
s = v·t (путь равен произведению скорости на время) v = s/t (скорость равна отношению пути ко времени) t = s/v (время равно отношению пути к скорости) |
| Задачи на работу |
A = p·t (работа равна произведению производительности на время) p = A/t (производительность равна отношению работы ко времени) t = A/p (время равно отношению работы к производительности) 1/t = 1/t₁ + 1/t₂ + ... + 1/tₙ (при совместной работе) |
| Задачи на проценты |
p = (a/b)·100% (процент равен отношению части к целому, умноженному на 100%) a = (p/100%)·b (часть равна проценту, деленному на 100% и умноженному на целое) |
| Задачи на смеси и сплавы | m₁·c₁ + m₂·c₂ = (m₁ + m₂)·c (масса вещества в смеси равна сумме масс вещества в компонентах) |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 10.