Графики функций – это геометрическое представление функциональных зависимостей между переменными. В задании ЕГЭ по графикам функций проверяется умение анализировать и интерпретировать графики функций, а также применять свойства функций для решения задач.
Задачи на графики функций в ЕГЭ обычно относятся к среднему уровню сложности и требуют понимания основных свойств функций и их графиков. Для успешного решения таких задач необходимо знать графики основных элементарных функций, уметь выполнять преобразования графиков, а также анализировать свойства функций по их графикам.
При решении задач на графики функций необходимо обращать внимание на область определения функции, особенности поведения функции на границах области определения, а также на характерные точки графика (нули функции, экстремумы, точки перегиба). Также важно уметь определять свойства функции по ее графику и, наоборот, строить график функции по ее свойствам.
Типичные ошибки при решении задач на графики функций связаны с неправильным определением области определения функции, ошибками при выполнении преобразований графиков, а также с неверной интерпретацией свойств функции по ее графику. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и проверять полученное решение.
На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀ = 2. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀ = 2.
Ответ: -1
Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Угловой коэффициент касательной можно найти как тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox.
По графику видно, что касательная имеет отрицательный наклон, и ее угловой коэффициент равен -1.
Значит, f'(2) = -1.
Найдите точку максимума функции y = x³ - 3x² - 9x + 7.
Ответ: -1
Для нахождения точек экстремума функции нужно найти производную и приравнять ее к нулю:
f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)
f'(x) = 0 при x = 3 и x = -1
Для определения характера экстремума найдем вторую производную:
f''(x) = 6x - 6
f''(3) = 6·3 - 6 = 12 > 0, значит, x = 3 - точка минимума
f''(-1) = 6·(-1) - 6 = -12 < 0, значит, x = -1 - точка максимума
| Функция | Основные свойства |
|---|---|
| y = x (линейная функция) |
- График – прямая, проходящая через начало координат под углом 45° - Область определения и область значений: R - Нечетная функция - Возрастает на всей области определения |
| y = x² (квадратичная функция) |
- График – парабола с вершиной в начале координат - Область определения: R, область значений: [0, +∞) - Четная функция - Убывает на (-∞, 0), возрастает на (0, +∞) - Минимум в точке x = 0 |
| y = sin x (синусоида) |
- График – синусоида - Область определения: R, область значений: [-1, 1] - Нечетная функция - Периодическая с периодом 2π - Максимумы в точках x = π/2 + 2πn, минимумы в точках x = 3π/2 + 2πn, где n ∈ Z |
| y = cos x (косинусоида) |
- График – косинусоида - Область определения: R, область значений: [-1, 1] - Четная функция - Периодическая с периодом 2π - Максимумы в точках x = 2πn, минимумы в точках x = π + 2πn, где n ∈ Z |
| y = tg x (тангенсоида) |
- График – тангенсоида - Область определения: x ≠ π/2 + πn, где n ∈ Z, область значений: R - Нечетная функция - Периодическая с периодом π - Вертикальные асимптоты: x = π/2 + πn, где n ∈ Z |
| y = a^x (показательная функция) |
- График – экспонента - Область определения: R, область значений: (0, +∞) - При a > 1: возрастает на всей области определения - При 0 < a < 1: убывает на всей области определения - Горизонтальная асимптота: y = 0 (ось Ox) |
| y = log_a(x) (логарифмическая функция) |
- График – логарифмическая кривая - Область определения: (0, +∞), область значений: R - При a > 1: возрастает на всей области определения - При 0 < a < 1: убывает на всей области определения - Вертикальная асимптота: x = 0 (ось Oy) |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 11.