Задание 12 ЕГЭ по профильной математике 2025: Наибольшее и наименьшее значения

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции – это задачи, в которых требуется определить максимальное и минимальное значения функции на заданном промежутке или множестве. В задании ЕГЭ по наибольшему и наименьшему значениям проверяется умение применять методы математического анализа для исследования функций.

Теория для подготовки к заданию

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в ЕГЭ обычно относятся к среднему или повышенному уровню сложности и требуют знания методов дифференциального исчисления. Для успешного решения таких задач необходимо уметь находить производную функции, определять критические точки, а также анализировать поведение функции на границах области определения.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Найти производную функции f'(x)
Найти критические точки функции, решив уравнение f'(x) = 0, и отобрать те из них, которые принадлежат заданному отрезку [a, b]
Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка: f(a), f(b) и f(x₁), f(x₂), ..., f(xₙ), где x₁, x₂, ..., xₙ – критические точки, принадлежащие отрезку [a, b]
Наибольшее из полученных значений будет наибольшим значением функции на отрезке [a, b], а наименьшее – наименьшим значением функции на отрезке [a, b]

Особые случаи

Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и не имеет критических точек внутри этого отрезка, то наибольшее и наименьшее значения функции достигаются на концах отрезка
Если функция определена на интервале (a, b) и не имеет критических точек, то она может не иметь наибольшего или наименьшего значения на этом интервале
Если функция имеет разрывы, то необходимо исследовать поведение функции в точках разрыва

Важно!

При решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции необходимо обращать внимание на область определения функции и на заданный промежуток. Также важно помнить, что критические точки – это точки, в которых производная равна нулю или не существует, но при этом функция определена.

Применение производной для исследования функций

Если f'(x) > 0 на некотором интервале, то функция f(x) возрастает на этом интервале
Если f'(x) < 0 на некотором интервале, то функция f(x) убывает на этом интервале
Если f'(x₀) = 0 и f'(x) меняет знак при переходе через точку x₀, то x₀ – точка экстремума функции f(x)
Если f'(x₀) = 0, f'(x) > 0 при x < x₀ и f'(x) < 0 при x > x₀, то x₀ – точка максимума функции f(x)
Если f'(x₀) = 0, f'(x) < 0 при x < x₀ и f'(x) > 0 при x > x₀, то x₀ – точка минимума функции f(x)

Типичные ошибки при решении задач

Типичные ошибки при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции связаны с неправильным нахождением производной, ошибками при решении уравнения f'(x) = 0, а также с забыванием проверки значений функции на концах отрезка. Поэтому важно внимательно выполнять все этапы алгоритма и проверять полученные результаты.

Примеры задач

Найдите наибольшее значение функции f(x) = x³ - 3x² + 1 на отрезке [-1, 2].

Ответ: 3

Найдем производную функции: f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

Приравняем производную к нулю: 3x(x - 2) = 0

Получаем критические точки: x = 0 и x = 2

Обе точки принадлежат отрезку [-1, 2]

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² + 1 = -1 - 3 + 1 = -3

f(0) = 0³ - 3·0² + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

f(2) = 2³ - 3·2² + 1 = 8 - 12 + 1 = -3

Наибольшее значение функции на отрезке [-1, 2] равно 1

Найдите наименьшее значение функции f(x) = x² - 4x + 5 на отрезке [1, 5].

Ответ: 1

Найдем производную функции: f'(x) = 2x - 4

Приравняем производную к нулю: 2x - 4 = 0

Получаем критическую точку: x = 2

Точка x = 2 принадлежит отрезку [1, 5]

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

f(1) = 1² - 4·1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2

f(2) = 2² - 4·2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1

f(5) = 5² - 4·5 + 5 = 25 - 20 + 5 = 10

Наименьшее значение функции на отрезке [1, 5] равно 1

Методы решения задач на наибольшее и наименьшее значения

Метод	Применение
Метод производной	Основной метод для нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой функции на отрезке
Метод оценки	Используется, когда можно оценить значение функции сверху или снизу и показать, что эта оценка достигается
Метод множителей Лагранжа	Применяется для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных при наличии ограничений
Геометрический метод	Используется, когда задача имеет геометрическую интерпретацию

Задание 12 ЕГЭ: ПРАКТИКА

Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 12.

Начать практику (Задание 12)