Задание 13 ЕГЭ по профильной математике 2025: Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения – это уравнения, содержащие тригонометрические функции неизвестного аргумента. В задании ЕГЭ по тригонометрическим уравнениям проверяется умение решать различные типы тригонометрических уравнений и отбирать корни, принадлежащие заданному промежутку.

Теория для подготовки к заданию

Задачи на тригонометрические уравнения в ЕГЭ обычно относятся к повышенному уровню сложности и требуют знания основных тригонометрических формул и методов решения тригонометрических уравнений. Для успешного решения таких задач необходимо уметь приводить тригонометрические выражения к стандартному виду, решать простейшие тригонометрические уравнения, а также применять различные методы решения более сложных уравнений.

Основные тригонометрические формулы

Основные тождества: sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα, ctgα = cosα/sinα
Формулы сложения: sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ, cos(α±β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
Формулы двойного угла: sin2α = 2sinα·cosα, cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
Формулы половинного угла: sin(α/2) = ±√((1-cosα)/2), cos(α/2) = ±√((1+cosα)/2)
Формулы приведения: sin(π/2-α) = cosα, cos(π/2-α) = sinα, и т.д.
Формулы преобразования суммы в произведение: sinα + sinβ = 2sin((α+β)/2)·cos((α-β)/2), и т.д.
Формулы преобразования произведения в сумму: sinα·cosβ = (sin(α+β) + sin(α-β))/2, и т.д.

Простейшие тригонометрические уравнения и их решения

sinx = a, |a| ≤ 1: x = (-1)^n·arcsin a + πn, n ∈ Z
cosx = a, |a| ≤ 1: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z
tgx = a: x = arctg a + πn, n ∈ Z
ctgx = a: x = arcctg a + πn, n ∈ Z

Методы решения тригонометрических уравнений

Метод приведения к простейшим уравнениям
Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Метод введения вспомогательного угла
Метод универсальной подстановки (t = tg(x/2))
Метод использования тригонометрических формул

Важно!

При решении тригонометрических уравнений необходимо обращать внимание на область определения уравнения, а также на отбор корней, принадлежащих заданному промежутку. Также важно помнить, что при использовании некоторых методов (например, возведение в квадрат) могут появиться посторонние корни, которые необходимо исключить.

Алгоритм решения тригонометрических уравнений

Привести уравнение к стандартному виду, используя тригонометрические формулы
Выбрать подходящий метод решения
Найти все корни уравнения
Отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку (если требуется)
Проверить полученные корни подстановкой в исходное уравнение (особенно важно при использовании методов, которые могут привести к появлению посторонних корней)

Типичные ошибки при решении тригонометрических уравнений

Типичные ошибки при решении тригонометрических уравнений связаны с неправильным применением тригонометрических формул, ошибками при нахождении корней простейших уравнений, а также с неверным отбором корней, принадлежащих заданному промежутку. Поэтому важно внимательно выполнять все преобразования и проверять полученные результаты.

Примеры задач

Решите уравнение: 2sin²x - 3sinx + 1 = 0. Найдите все корни, принадлежащие отрезку [0, 2π].

Ответ: π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6

Введем замену t = sinx, получим квадратное уравнение: 2t² - 3t + 1 = 0

Решим это уравнение: D = 9 - 8 = 1, t₁ = (3 + 1)/4 = 1, t₂ = (3 - 1)/4 = 1/2

Вернемся к исходной переменной:

1) sinx = 1, x = π/2 + 2πn, n ∈ Z

2) sinx = 1/2, x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z

Отберем корни, принадлежащие отрезку [0, 2π]:

Из sinx = 1: x = π/2

Из sinx = 1/2: x = π/6, x = 5π/6, x = π + π/6 = 7π/6, x = π + 5π/6 = 11π/6

Ответ: π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6

Решите уравнение: sin2x = cosx. Найдите все корни, принадлежащие промежутку [-π, π].

Ответ: -2π/3, 0, 2π/3

Преобразуем уравнение, используя формулу sin2x = 2sinx·cosx:

2sinx·cosx = cosx

cosx·(2sinx - 1) = 0

Получаем два уравнения:

1) cosx = 0, x = π/2 + πn, n ∈ Z

2) 2sinx - 1 = 0, sinx = 1/2, x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z

Отберем корни, принадлежащие промежутку [-π, π]:

Из cosx = 0: x = -π/2, x = π/2

Из sinx = 1/2: x = π/6, x = 5π/6, x = -π + π/6 = -5π/6, x = -π + 5π/6 = -π/6

Проверим полученные корни подстановкой в исходное уравнение:

При x = -π/2: sin(-π) = 0, cos(-π/2) = 0, 0 = 0 - верно

При x = π/2: sinπ = 0, cos(π/2) = 0, 0 = 0 - верно

При x = π/6: sin(π/3) = √3/2, cos(π/6) = √3/2, √3/2 = √3/2 - верно

При x = 5π/6: sin(5π/3) = -√3/2, cos(5π/6) = -√3/2, -√3/2 = -√3/2 - верно

При x = -5π/6: sin(-5π/3) = √3/2, cos(-5π/6) = -√3/2, √3/2 ≠ -√3/2 - неверно

При x = -π/6: sin(-π/3) = -√3/2, cos(-π/6) = √3/2, -√3/2 ≠ √3/2 - неверно

Ответ: -π/2, π/6, π/2, 5π/6

Формулы для решения тригонометрических уравнений

Тип уравнения	Формула решения
sinx = a, \|a\| ≤ 1	x = (-1)^n·arcsin a + πn, n ∈ Z
cosx = a, \|a\| ≤ 1	x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z
tgx = a	x = arctg a + πn, n ∈ Z
ctgx = a	x = arcctg a + πn, n ∈ Z
asinx + bcosx = c	Метод введения вспомогательного угла: asinx + bcosx = √(a² + b²)·sin(x + φ), где φ = arctg(b/a)
Однородное уравнение asin²x + bsinx·cosx + ccos²x = 0	Деление на cos²x или sin²x, замена tgx = t или ctgx = t

Задание 13 ЕГЭ: ПРАКТИКА

Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 13.

Начать практику (Задание 13)