Стереометрические задачи – это задачи, связанные с изучением свойств геометрических фигур в трехмерном пространстве. В задании ЕГЭ по стереометрическим задачам проверяется умение решать задачи на нахождение расстояний, углов, площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.
Задачи на стереометрию в ЕГЭ обычно относятся к повышенному уровню сложности и требуют хорошего пространственного мышления, знания основных понятий и формул стереометрии, а также умения применять методы решения стереометрических задач. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства многогранников и тел вращения, уметь находить расстояния и углы в пространстве, а также вычислять площади поверхностей и объемы геометрических тел.
При решении стереометрических задач необходимо уметь строить сечения многогранников плоскостями, а также применять метод координат и векторный метод. Также важно помнить формулы для вычисления площадей поверхностей и объемов геометрических тел.
Типичные ошибки при решении стереометрических задач связаны с неправильным построением чертежа, ошибками в применении формул и теорем, а также с неверным определением взаимного расположения геометрических объектов в пространстве. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и проверять полученное решение.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
Ответ: arcsin(4/5) ≈ 53,13°
Пусть O – центр основания пирамиды. Тогда SO – высота пирамиды.
Так как основание – квадрат со стороной 6, то O – точка пересечения диагоналей квадрата, и AO = 3√2.
По теореме Пифагора: SA² = SO² + AO²
SA = 5, AO = 3√2
SO² = SA² - AO² = 25 - 18 = 7
SO = √7
Угол между боковым ребром SA и плоскостью основания – это угол между SA и его проекцией на плоскость основания, то есть между SA и AO.
sin(∠SAO) = SO/SA = √7/5 = √7/5
Ответ: arcsin(√7/5)
В цилиндре образующая равна диаметру основания. Найдите угол между образующей и плоскостью осевого сечения, проходящей через эту образующую.
Ответ: 45°
Пусть R – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра (длина образующей).
По условию, h = 2R.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через данную образующую. Это сечение – прямоугольник.
Пусть AB – образующая цилиндра, а AC – диаметр основания, лежащий в плоскости осевого сечения.
Угол между образующей и плоскостью осевого сечения – это угол между прямой AB и плоскостью, содержащей прямые AB и AC.
Так как AB и AC лежат в одной плоскости, то угол между AB и этой плоскостью равен 0.
Ответ: 0°
| Теорема/формула | Описание |
|---|---|
| Признак параллельности прямой и плоскости | Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости |
| Признак перпендикулярности прямой и плоскости | Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости |
| Признак параллельности плоскостей | Две плоскости параллельны, если одна из них содержит прямую, параллельную другой плоскости, и не имеет с этой плоскостью общих точек |
| Теорема о трех перпендикулярах | Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной |
| Формула расстояния от точки до плоскости | d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²), где (x₀, y₀, z₀) – координаты точки, ax + by + cz + d = 0 – уравнение плоскости |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 14.