Неравенства – это математические выражения, устанавливающие отношения "больше", "меньше", "больше или равно", "меньше или равно" между двумя выражениями. В задании ЕГЭ по неравенствам проверяется умение решать различные типы неравенств и их систем, а также применять методы решения неравенств для решения практических задач.
Задачи на неравенства в ЕГЭ обычно относятся к повышенному уровню сложности и требуют знания основных методов решения неравенств различных типов. Для успешного решения таких задач необходимо уметь выполнять равносильные преобразования неравенств, решать линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства, а также их системы и совокупности.
Линейное неравенство имеет вид ax + b > 0 (или <, ≥, ≤). Решается путем выполнения равносильных преобразований и деления на коэффициент при x с учетом его знака.
Квадратное неравенство имеет вид ax² + bx + c > 0 (или <, ≥, ≤). Решается с помощью метода интервалов или с использованием графика квадратичной функции.
Рациональное неравенство имеет вид P(x)/Q(x) > 0 (или <, ≥, ≤), где P(x) и Q(x) – многочлены. Решается с помощью метода интервалов.
Иррациональное неравенство содержит неизвестное под знаком корня. Решается путем возведения обеих частей неравенства в степень с учетом условий равносильности.
Показательное неравенство содержит неизвестное в показателе степени. Решается с использованием свойств показательной функции или путем логарифмирования.
Логарифмическое неравенство содержит неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма. Решается с использованием свойств логарифмической функции и с учетом области определения логарифма.
Тригонометрическое неравенство содержит неизвестное в аргументе тригонометрической функции. Решается с использованием свойств тригонометрических функций и их графиков.
При решении неравенств необходимо обращать внимание на область допустимых значений (ОДЗ) и на условия равносильности преобразований. Особенно это касается иррациональных и логарифмических неравенств, где возможно появление посторонних решений или потеря решений.
Типичные ошибки при решении неравенств связаны с неправильным определением ОДЗ, ошибками при выполнении преобразований неравенств, а также с неверным применением метода интервалов. Поэтому важно внимательно выполнять все этапы решения и проверять полученные результаты.
Решите неравенство: (x² - 4)/(x - 3) ≤ 0
Ответ: [-2; 2] ∪ (3; +∞)
Найдем ОДЗ: x ≠ 3 (знаменатель не должен обращаться в нуль)
Приведем неравенство к виду f(x) ≤ 0: (x² - 4)/(x - 3) ≤ 0
Найдем нули числителя: x² - 4 = 0, x = ±2
Отметим на числовой прямой точки x = -2, x = 2, x = 3
Определим знак функции на каждом интервале:
На интервале (-∞; -2): числитель > 0, знаменатель < 0, значит, функция < 0
На интервале (-2; 2): числитель < 0, знаменатель < 0, значит, функция > 0
На интервале (2; 3): числитель > 0, знаменатель < 0, значит, функция < 0
На интервале (3; +∞): числитель > 0, знаменатель > 0, значит, функция > 0
Выберем интервалы, на которых функция ≤ 0: (-∞; -2] ∪ [2; 3) ∪ {точки, где функция = 0}
Функция = 0 при x = -2 и x = 2
Ответ: [-2; 2] ∪ (3; +∞)
Решите неравенство: log₂(x + 3) > log₂(2x - 1)
Ответ: (1/2; 2)
Найдем ОДЗ: x + 3 > 0, 2x - 1 > 0, то есть x > -3, x > 1/2
Объединяя условия, получаем ОДЗ: x > 1/2
Так как логарифмическая функция с основанием a > 1 возрастает, то неравенство log₂(x + 3) > log₂(2x - 1) равносильно неравенству x + 3 > 2x - 1
Решим это неравенство: x + 3 > 2x - 1, x + 3 + 1 > 2x, x + 4 > 2x, 4 > 2x - x, 4 > x, x < 4
Учитывая ОДЗ, получаем: 1/2 < x < 4
Ответ: (1/2; 4)
| Тип неравенства | Метод решения |
|---|---|
| Линейное: ax + b > 0 | Выполнить равносильные преобразования и разделить на a с учетом его знака |
| Квадратное: ax² + bx + c > 0 | Метод интервалов или использование графика квадратичной функции |
| Рациональное: P(x)/Q(x) > 0 | Метод интервалов |
| Иррациональное: √f(x) > g(x) | Возведение в квадрат с учетом условий равносильности |
| Показательное: a^f(x) > a^g(x) | Использование свойств показательной функции или логарифмирование |
| Логарифмическое: log_a(f(x)) > log_a(g(x)) | Использование свойств логарифмической функции с учетом ОДЗ |
| Тригонометрическое: sin(f(x)) > a | Использование свойств тригонометрических функций и их графиков |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 15.