Задание 16 ЕГЭ по профильной математике 2025: Планиметрические задачи

Планиметрические задачи – это задачи, связанные с изучением свойств геометрических фигур на плоскости. В задании ЕГЭ по планиметрическим задачам проверяется умение решать задачи на нахождение длин, углов, площадей и других характеристик плоских фигур.

Теория для подготовки к заданию

Задачи на планиметрию в ЕГЭ обычно относятся к повышенному уровню сложности и требуют хорошего знания основных понятий и теорем планиметрии, а также умения применять их для решения практических задач. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства треугольников, четырехугольников, окружностей и других плоских фигур, уметь находить длины, углы, площади, а также применять различные методы решения планиметрических задач.

Основные понятия и теоремы планиметрии

Треугольники

Сумма углов треугольника равна 180°
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Теорема синусов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R – радиус описанной окружности
Теорема косинусов: c² = a² + b² - 2ab·cos C
Формула площади треугольника: S = (1/2)·a·h = (1/2)·ab·sin C = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a+b+c)/2 – полупериметр
Свойства равнобедренного треугольника: углы при основании равны, высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой
Свойства прямоугольного треугольника: сумма острых углов равна 90°, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Четырехугольники

Сумма углов четырехугольника равна 360°
Параллелограмм: противоположные стороны параллельны и равны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам
Прямоугольник: все углы прямые, диагонали равны
Ромб: все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам
Квадрат: все стороны равны, все углы прямые, диагонали равны, взаимно перпендикулярны и делят углы пополам
Трапеция: две стороны параллельны (основания), две другие не параллельны (боковые стороны)
Формула площади параллелограмма: S = a·h = ab·sin α, где a – сторона, h – высота, проведенная к стороне a, α – угол между сторонами a и b
Формула площади трапеции: S = (a+b)·h/2, где a и b – основания, h – высота

Окружность

Длина окружности: C = 2πR, где R – радиус
Площадь круга: S = πR²
Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри этого угла
Произведение отрезков секущей равно квадрату касательной, проведенной из той же точки

Важно!

При решении планиметрических задач необходимо уметь строить дополнительные элементы (высоты, медианы, биссектрисы, диагонали), а также применять различные методы (метод координат, векторный метод, метод площадей, метод подобия). Также важно помнить формулы для вычисления длин, углов и площадей геометрических фигур.

Методы решения планиметрических задач

Метод координат
Векторный метод
Метод площадей
Метод подобия
Метод дополнительных построений
Метод вспомогательной окружности

Алгоритм решения планиметрических задач

Внимательно прочитать условие задачи и определить, какие геометрические фигуры и их элементы рассматриваются
Сделать чертеж, отражающий условие задачи
Выбрать метод решения задачи
Применить соответствующие теоремы и формулы
Выполнить необходимые вычисления
Проверить полученный результат на соответствие условию задачи

Типичные ошибки при решении планиметрических задач

Типичные ошибки при решении планиметрических задач связаны с неправильным построением чертежа, ошибками в применении теорем и формул, а также с неверным определением взаимного расположения геометрических объектов на плоскости. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и проверять полученное решение.

Примеры задач

В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 7, AC = 8. Найдите высоту, проведенную к стороне BC.

Ответ: 4,8

Используем формулу площади треугольника: S = (1/2)·BC·h, где h – высота, проведенная к стороне BC.

Также можно найти площадь по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p = (a+b+c)/2 – полупериметр.

p = (5+7+8)/2 = 10

S = √(10·(10-5)·(10-7)·(10-8)) = √(10·5·3·2) = √300 = 10√3

Приравняем две формулы для площади: (1/2)·BC·h = 10√3

(1/2)·7·h = 10√3

h = 20√3/7 ≈ 4,8

В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Известно, что ∠BAC = 30°. Найдите угол между хордой AC и касательной к окружности в точке A.

Ответ: 60°

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри этого угла.

В данном случае, угол между хордой AC и касательной в точке A равен вписанному углу, опирающемуся на дугу BC.

Так как AB – диаметр, то угол BAC – вписанный угол, опирающийся на дугу BC.

По условию, ∠BAC = 30°.

Значит, угол между хордой AC и касательной в точке A также равен 30°.

Но это неверно. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дополнительную дугу. В данном случае, это дуга AC.

Вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен 90° - ∠BAC = 90° - 30° = 60°.

Значит, угол между хордой AC и касательной в точке A равен 60°.

Основные формулы планиметрии

Фигура	Формулы
Треугольник	- Площадь: S = (1/2)·a·h = (1/2)·ab·sin C = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) - Радиус вписанной окружности: r = S/p - Радиус описанной окружности: R = abc/(4S)
Параллелограмм	- Площадь: S = a·h = ab·sin α - Диагонали: d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
Трапеция	- Площадь: S = (a+b)·h/2 - Средняя линия: m = (a+b)/2
Окружность	- Длина: C = 2πR - Площадь круга: S = πR² - Длина дуги: l = (α/360°)·2πR, где α – центральный угол в градусах - Площадь сектора: S = (α/360°)·πR²

Задание 16 ЕГЭ: ПРАКТИКА

Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 16.

Начать практику (Задание 16)