Задание 17 ЕГЭ по профильной математике 2025: Финансовая математика

Финансовая математика – это раздел математики, изучающий методы расчета финансовых показателей и операций. В задании ЕГЭ по финансовой математике проверяется умение решать задачи на кредиты, вклады, инвестиции, ценные бумаги и другие финансовые операции.

Теория для подготовки к заданию

Задачи на финансовую математику в ЕГЭ обычно относятся к повышенному уровню сложности и требуют понимания основных финансовых понятий и формул. Для успешного решения таких задач необходимо знать формулы для расчета простых и сложных процентов, аннуитетных платежей, эффективной процентной ставки, а также уметь составлять и решать уравнения и неравенства, моделирующие финансовые ситуации.

Основные понятия финансовой математики

• Процент – сотая часть числа
• Простые проценты – начисление процентов только на первоначальную сумму
• Сложные проценты – начисление процентов на первоначальную сумму и на ранее начисленные проценты
• Кредит – денежные средства, предоставляемые банком заемщику на определенный срок и под определенный процент
• Вклад (депозит) – денежные средства, размещаемые в банке на определенный срок и под определенный процент
• Аннуитетный платеж – равный по сумме ежемесячный платеж по кредиту, включающий в себя часть основного долга и проценты
• Дифференцированный платеж – ежемесячный платеж по кредиту, при котором основной долг выплачивается равными частями, а проценты начисляются на остаток долга

Формулы для расчета простых и сложных процентов

Простые проценты

Формула наращения по простым процентам: S = P·(1 + r·t), где:

• S – наращенная сумма (конечная сумма с процентами)
• P – первоначальная сумма (основная сумма, капитал)
• r – процентная ставка (в долях единицы)
• t – срок (в годах или других периодах, соответствующих процентной ставке)

Сложные проценты

Формула наращения по сложным процентам: S = P·(1 + r)^t, где:

• S – наращенная сумма
• P – первоначальная сумма
• r – процентная ставка (в долях единицы)
• t – срок (количество периодов начисления процентов)

Кредиты и их виды

Аннуитетный кредит

При аннуитетном кредите ежемесячные платежи равны между собой. Формула для расчета аннуитетного платежа:

A = P·r·(1 + r)^n/((1 + r)^n - 1), где:

• A – аннуитетный платеж
• P – сумма кредита
• r – месячная процентная ставка (годовая ставка, деленная на 12, в долях единицы)
• n – срок кредита в месяцах

Дифференцированный кредит

При дифференцированном кредите основной долг выплачивается равными частями, а проценты начисляются на остаток долга. Формула для расчета дифференцированного платежа:

D_i = P/n + P·(1 - (i-1)/n)·r, где:

• D_i – платеж в i-м месяце
• P – сумма кредита
• n – срок кредита в месяцах
• r – месячная процентная ставка
• i – номер месяца

Алгоритм решения задач на финансовую математику

1. Внимательно прочитать условие задачи и определить, какие финансовые операции и показатели рассматриваются
2. Выделить известные и неизвестные величины
3. Выбрать подходящие формулы для решения задачи
4. Составить уравнение или систему уравнений, моделирующую финансовую ситуацию
5. Решить полученное уравнение или систему уравнений
6. Проверить полученный результат на соответствие условию задачи
7. Записать ответ в требуемой форме

Типичные ошибки при решении задач

Типичные ошибки при решении задач на финансовую математику связаны с неправильным выбором формул, ошибками в вычислениях, а также с неверной интерпретацией условия задачи. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и проверять полученное решение.

Примеры задач

Формулы и методы для решения задач на финансовую математику

Тип задачи	Формулы и методы
Простые проценты	S = P·(1 + r·t)
Сложные проценты	S = P·(1 + r)^t
Аннуитетный кредит	A = P·r·(1 + r)^n/((1 + r)^n - 1)
Дифференцированный кредит	D_i = P/n + P·(1 - (i-1)/n)·r
Эффективная процентная ставка	r_эфф = (1 + r/m)^m - 1, где m – количество начислений процентов в год
Дисконтирование	P = S/(1 + r)^t

Задание 17 ЕГЭ: ПРАКТИКА

Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 17.