Задачи с параметром – это задачи, в которых требуется найти значения параметра, при которых выполняются определенные условия, или исследовать зависимость решения от параметра. В задании ЕГЭ по задачам с параметром проверяется умение анализировать и решать уравнения, неравенства и их системы, содержащие параметр.
Задачи с параметром в ЕГЭ обычно относятся к высокому уровню сложности и требуют глубокого понимания математических понятий и методов. Для успешного решения таких задач необходимо уметь анализировать различные случаи в зависимости от значений параметра, применять аналитические и графические методы, а также логически обосновывать полученные результаты.
Аналитический метод основан на алгебраических преобразованиях и рассмотрении различных случаев в зависимости от значений параметра. Этот метод требует хорошего знания свойств функций, уравнений и неравенств, а также умения логически обосновывать полученные результаты.
Графический метод основан на геометрической интерпретации уравнений и неравенств с параметром. Он позволяет наглядно представить зависимость решения от параметра и часто упрощает анализ различных случаев.
Метод рассмотрения области допустимых значений (ОДЗ) основан на анализе ограничений, накладываемых на переменные и параметры в задаче. Этот метод особенно полезен при решении иррациональных, логарифмических и дробно-рациональных уравнений и неравенств с параметром.
При решении задач с параметром необходимо рассматривать все возможные случаи и проверять полученные решения. Также важно помнить, что параметр может входить в условие задачи различными способами, и его влияние на решение может быть неочевидным.
Типичные ошибки при решении задач с параметром связаны с неполным рассмотрением всех возможных случаев, ошибками в алгебраических преобразованиях, а также с неверной интерпретацией условия задачи. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и проверять полученные результаты.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение |x - 2| + |x + 3| = a имеет ровно три решения.
Ответ: a = 5
Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения x:
1) x ≤ -3: |x - 2| = 2 - x, |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3
Уравнение принимает вид: 2 - x + (-x - 3) = a
2 - x - x - 3 = a
-2x - 1 = a
x = -(a + 1)/2
Это решение должно удовлетворять условию x ≤ -3, то есть -(a + 1)/2 ≤ -3
(a + 1)/2 ≥ 3
a + 1 ≥ 6
a ≥ 5
2) -3 < x < 2: |x - 2| = 2 - x, |x + 3| = x + 3
Уравнение принимает вид: 2 - x + x + 3 = a
5 = a
Это решение существует при любом значении x из интервала (-3, 2), то есть при a = 5 уравнение имеет бесконечно много решений на интервале (-3, 2).
3) x ≥ 2: |x - 2| = x - 2, |x + 3| = x + 3
Уравнение принимает вид: x - 2 + x + 3 = a
2x + 1 = a
x = (a - 1)/2
Это решение должно удовлетворять условию x ≥ 2, то есть (a - 1)/2 ≥ 2
a - 1 ≥ 4
a ≥ 5
Таким образом, при a > 5 уравнение имеет два решения: x = -(a + 1)/2 и x = (a - 1)/2.
При a = 5 уравнение имеет бесконечно много решений на интервале (-3, 2) и одно решение x = 2.
При a < 5 уравнение не имеет решений.
Значит, уравнение имеет ровно три решения при a = 5.
При каких значениях параметра a уравнение ax² + 4x + a - 3 = 0 имеет два различных корня, один из которых равен 1?
Ответ: a = -1
Если x = 1 является корнем уравнения, то подставим это значение в уравнение:
a·1² + 4·1 + a - 3 = 0
a + 4 + a - 3 = 0
2a + 1 = 0
a = -1/2
Теперь проверим, имеет ли уравнение второй корень при a = -1/2:
-1/2·x² + 4x - 1/2 - 3 = 0
-1/2·x² + 4x - 7/2 = 0
Найдем дискриминант: D = 4² - 4·(-1/2)·(-7/2) = 16 - 4·1/2·7/2 = 16 - 7 = 9
Корни уравнения: x₁,₂ = (-4 ± 3)/(-1) = (4 ∓ 3) = 1 или 7
Таким образом, при a = -1/2 уравнение имеет два различных корня: x₁ = 1 и x₂ = 7.
Ответ: a = -1/2
| Прием | Описание |
|---|---|
| Использование теоремы Виета | Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂: x₁ + x₂ = -b/a, x₁·x₂ = c/a |
| Исследование дискриминанта | Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0: D = b² - 4ac. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня; если D = 0, то уравнение имеет один корень (кратности 2); если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней |
| Метод интервалов | Разбиение области определения параметра на интервалы, внутри которых характер решения не меняется |
| Графическая интерпретация | Представление уравнения или неравенства с параметром в виде семейства кривых или поверхностей |
| Замена переменных | Введение новых переменных для упрощения уравнения или неравенства с параметром |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 18.