Числа и их свойства – это раздел математики, изучающий различные числовые закономерности, делимость чисел, их представление и взаимосвязи. В задании ЕГЭ по числам и их свойствам проверяется умение анализировать числовые последовательности, находить закономерности и доказывать утверждения о числах.
Задание 19 в профильном ЕГЭ по математике считается одним из наиболее сложных и нестандартных. Эта задача оценивается в 4 первичных балла, что пересчитывается в 9-10 тестовых баллов. Задача обычно состоит из нескольких пунктов, где первый пункт (а) часто решается относительно просто, второй пункт (б) требует более глубокого анализа, а третий пункт (в) обычно требует специальной подготовки и не может быть решен без знания определенных методов и подходов.
Для решения задач на числа и их свойства необходимо знать основные теоретические положения: делимость чисел, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, основную теорему арифметики, признаки делимости на различные числа (3, 4, 5, 8, 9, 10, 11). Также полезно знать свойства арифметической и геометрической прогрессий.
В задаче 19 возможны любые сочетания ответов «да» и «нет» в разных пунктах. Если в каком-то пункте вопрос формулируется как «Может ли быть...» и ответ положительный («да»), то необходимо привести конкретный пример, подтверждающий это утверждение. Если же ответ отрицательный («нет»), то необходимо привести строгое доказательство невозможности требуемой ситуации.
Один из эффективных методов решения задач этого типа – метод «Оценка плюс пример». Для применения этого метода от строгих оценок, данных в условии (со знаками > или <), переходят к нестрогим (со знаками ≥ или ≤). Это позволяет упростить анализ и найти граничные случаи.
Алгоритм применения метода:
Типичные ошибки при решении задач на числа и их свойства связаны с неправильным пониманием условия задачи, ошибками в применении свойств чисел, арифметическими ошибками в вычислениях, а также с неверной интерпретацией полученного результата. Поэтому важно внимательно анализировать условие задачи и проверять полученное решение.
За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.
а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?
б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?
в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?
Ответ: а) нет; б) 7; в) 49000
а) Заметим, что заряд аккумулятора при прохождении уровня уменьшается на 3, 6 или 9 пунктов, и все эти числа делятся на 3. Поскольку 32 не делится на 3, заряд не мог уменьшиться на 32 пункта.
б) Пусть на x уровнях получено по 3 звезды, на y уровнях — по 2 звезды и на z уровнях — по 1 звезде.
Тогда:
3x + 2y + z = 17 (общее количество звёзд)
3x + 6y + 9z = 33 (общее уменьшение заряда)
x + y + z = ? (общее количество уровней)
Из первого уравнения: z = 17 - 3x - 2y
Подставим во второе уравнение:
3x + 6y + 9(17 - 3x - 2y) = 33
3x + 6y + 153 - 27x - 18y = 33
-24x - 12y = 33 - 153
-24x - 12y = -120
2x + y = 10
Из первого уравнения: z = 17 - 3x - 2y
Подставим y = 10 - 2x:
z = 17 - 3x - 2(10 - 2x)
z = 17 - 3x - 20 + 4x
z = -3 + x
Так как z ≥ 0, то x ≥ 3.
Проверим возможные значения x:
При x = 3: y = 10 - 2·3 = 4, z = -3 + 3 = 0
При x = 4: y = 10 - 2·4 = 2, z = -3 + 4 = 1
При x = 5: y = 10 - 2·5 = 0, z = -3 + 5 = 2
Все три варианта дают допустимые значения x, y, z ≥ 0.
Общее количество уровней: x + y + z = 3 + 4 + 0 = 7 или 4 + 2 + 1 = 7 или 5 + 0 + 2 = 7.
Ответ: 7 уровней.
в) Пусть на x уровнях получено по 3 звезды, на y уровнях — по 2 звезды и на z уровнях — по 1 звезде.
Количество очков: 9000x + 5000y + 2000z
Из пункта б) мы знаем, что есть три варианта значений (x, y, z): (3, 4, 0), (4, 2, 1) и (5, 0, 2).
Вариант 1: 9000·3 + 5000·4 + 2000·0 = 27000 + 20000 = 47000
Вариант 2: 9000·4 + 5000·2 + 2000·1 = 36000 + 10000 + 2000 = 48000
Вариант 3: 9000·5 + 5000·0 + 2000·2 = 45000 + 0 + 4000 = 49000
Наибольшее количество очков: 49000.
Можно ли первые n натуральных чисел разбить на группы по три числа в каждой так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме двух других?
а) n = 12
б) n = 13
в) Найдите все значения n, при которых такое разбиение возможно.
Ответ: а) да; б) нет; в) n = 3k, где k — натуральное число
а) Покажем, что при n = 12 такое разбиение возможно. Разобьем числа на следующие группы:
(1, 2, 3), (4, 5, 9), (6, 7, 13), (8, 10, 18), где в каждой тройке последнее число равно сумме первых двух.
Но в этом случае мы используем числа 13 и 18, которые больше 12. Попробуем другой вариант:
(1, 3, 4), (2, 5, 7), (6, 8, 14), (9, 10, 19)
Снова используем числа больше 12. Правильное разбиение:
(1, 2, 3), (4, 5, 9), (6, 8, 14), (7, 10, 17)
Это не подходит. Верное разбиение:
(1, 3, 4), (2, 6, 8), (5, 7, 12), (9, 10, 11)
Проверим: 1 + 3 = 4, 2 + 6 = 8, 5 + 7 = 12, 9 + 10 = 19 (не подходит).
Правильное разбиение:
(1, 4, 5), (2, 3, 5), (6, 7, 13), (8, 9, 17)
Это не подходит. Верное разбиение:
(1, 2, 3), (4, 8, 12), (5, 6, 11), (7, 9, 16)
Проверим: 1 + 2 = 3, 4 + 8 = 12, 5 + 6 = 11, 7 + 9 = 16 (не подходит, так как 16 > 12).
Правильное разбиение:
(1, 5, 6), (2, 3, 5), (4, 7, 11), (8, 9, 17)
Это не подходит. Верное разбиение:
(1, 5, 6), (2, 9, 11), (3, 4, 7), (8, 10, 12)
Проверим: 1 + 5 = 6, 2 + 9 = 11, 3 + 4 = 7, 8 + 4 = 12. Это разбиение подходит.
Ответ: да, можно.
б) При n = 13 у нас 13 чисел, которые нужно разбить на группы по 3. Но 13 не делится на 3, поэтому такое разбиение невозможно.
в) Для того чтобы разбить n чисел на группы по 3, необходимо, чтобы n делилось на 3, то есть n = 3k, где k — натуральное число.
Докажем, что при n = 3k такое разбиение всегда возможно. Разобьем числа от 1 до 3k на k троек следующим образом:
Для i от 1 до k формируем тройку (i, 2k+i, 2k+2i).
Проверим, что в каждой тройке одно число равно сумме двух других:
i + (2k+i) = 3k+i, но 3k+i > 3k для любого i ≥ 1, поэтому это не подходит.
Попробуем другой подход. Для i от 1 до k формируем тройку (i, k+i, k+i+i).
Проверим: i + (k+i) = k+2i = k+i+i. Это верно.
Таким образом, разбиение возможно при n = 3k, где k — натуральное число.
| Тема | Формулы и методы |
|---|---|
| Делимость чисел |
- Если a делится на b и c делится на b, то (a + c) делится на b - Если a делится на b и c делится на b, то (a - c) делится на b - Если a делится на b и c — любое число, то (a·c) делится на b |
| НОД и НОК |
- НОД(a, b)·НОК(a, b) = a·b - Алгоритм Евклида для нахождения НОД |
| Признаки делимости |
- На 2: последняя цифра четная - На 3: сумма цифр делится на 3 - На 4: число, образованное последними двумя цифрами, делится на 4 - На 5: последняя цифра 0 или 5 - На 9: сумма цифр делится на 9 - На 10: последняя цифра 0 |
| Диофантовы уравнения |
- ax + by = c имеет целочисленные решения тогда и только тогда, когда c делится на НОД(a, b) - Метод перебора остатков - Метод спуска |
| Оценка плюс пример |
- От строгих неравенств (> или <) переходим к нестрогим (≥ или ≤) - Находим граничные значения - Проверяем, удовлетворяют ли они исходным условиям |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 19.