Векторы – это направленные отрезки, характеризующиеся как величиной (длиной), так и направлением. В задании ЕГЭ по векторам проверяется умение выполнять операции с векторами и применять векторный метод при решении геометрических задач.
Векторы являются мощным инструментом для решения различных геометрических задач как на плоскости, так и в пространстве. Они позволяют переводить геометрические задачи на язык алгебры, что часто упрощает решение. Для успешного выполнения заданий с векторами необходимо хорошо понимать основные операции с векторами и их свойства.
При решении задач с векторами на плоскости часто используется прямоугольная система координат, в которой каждый вектор можно представить в виде упорядоченной пары чисел – его координат. Это позволяет выполнять операции с векторами, используя алгебраические формулы.
Скалярное произведение векторов является особенно полезным инструментом, так как оно связано с длинами векторов и углом между ними. Формула скалярного произведения через координаты векторов позволяет легко вычислять углы между векторами и проекции одного вектора на другой.
Типичные ошибки при решении задач с векторами связаны с неправильным определением координат векторов, ошибками в вычислениях при выполнении операций с векторами, а также с неверной интерпретацией результатов. Поэтому важно тщательно проверять все вычисления и обращать внимание на геометрический смысл выполняемых операций.
Даны векторы a = (3, 4) и b = (1, 2). Найдите скалярное произведение векторов a и b.
Ответ: 11
Скалярное произведение векторов a = (a₁, a₂) и b = (b₁, b₂) вычисляется по формуле:
a·b = a₁·b₁ + a₂·b₂
Подставляем координаты векторов:
a·b = 3·1 + 4·2 = 3 + 8 = 11
Найдите косинус угла между векторами a = (1, 1) и b = (1, -1).
Ответ: 0
Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:
cos φ = (a·b)/(|a|·|b|)
Найдем скалярное произведение: a·b = 1·1 + 1·(-1) = 1 - 1 = 0
Найдем длины векторов: |a| = √(1² + 1²) = √2, |b| = √(1² + (-1)²) = √2
cos φ = 0/(√2·√2) = 0
Значит, угол между векторами равен 90°, т.е. векторы перпендикулярны.
| Операция | Формула |
|---|---|
| Сложение векторов | (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = (a₁+b₁, a₂+b₂) |
| Вычитание векторов | (a₁, a₂) - (b₁, b₂) = (a₁-b₁, a₂-b₂) |
| Умножение вектора на число | λ·(a₁, a₂) = (λ·a₁, λ·a₂) |
| Скалярное произведение | (a₁, a₂)·(b₁, b₂) = a₁·b₁ + a₂·b₂ |
| Длина вектора | |(a₁, a₂)| = √(a₁² + a₂²) |
| Косинус угла между векторами | cos φ = (a·b)/(|a|·|b|) |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 2.