Задание 3 ЕГЭ по профильной математике 2025: Стереометрия

Стереометрия – это раздел геометрии, изучающий свойства фигур в трехмерном пространстве. В задании ЕГЭ по стереометрии проверяется умение решать задачи на вычисление объемов, площадей поверхностей пространственных тел, а также на нахождение расстояний и углов в пространстве.

Теория для подготовки к заданию

Стереометрия является одним из наиболее сложных разделов школьной математики, так как требует хорошо развитого пространственного мышления. Для успешного решения задач по стереометрии необходимо знать свойства основных пространственных фигур, таких как призмы, пирамиды, цилиндры, конусы и шары, а также уметь применять методы координат и векторов в пространстве.

Основные темы стереометрии

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей
Углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями
Расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми
Многогранники (призмы, пирамиды, правильные многогранники)
Тела вращения (цилиндр, конус, шар)
Формулы объемов и площадей поверхностей пространственных тел
Векторы в пространстве и метод координат

Алгоритм решения задач по стереометрии

Построить аккуратный чертеж, который поможет визуализировать пространственную фигуру
Определить, какие теоремы и формулы могут быть применены
Последовательно выполнить необходимые вычисления

Важно!

Одним из эффективных методов решения стереометрических задач является метод сечений, который позволяет свести пространственную задачу к планиметрической. Также часто используется метод координат, который особенно удобен при нахождении расстояний и углов в пространстве.

Типичные ошибки при решении задач

Типичные ошибки при решении задач по стереометрии связаны с неправильным построением чертежа, неверным применением формул, а также с трудностями в визуализации пространственных фигур. Поэтому важно развивать пространственное мышление и тренироваться в решении различных типов задач по стереометрии.

Примеры задач

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Ответ: 4

Пусть O – центр основания пирамиды. Тогда SO – высота пирамиды, которую обозначим h.

Так как основание – квадрат со стороной 6, то диагональ основания равна 6√2.

Расстояние от центра квадрата до любой вершины равно 6√2/2 = 3√2.

По теореме Пифагора: SA² = SO² + OA²

5² = h² + (3√2)²

25 = h² + 18

h² = 7

h = √7 ≈ 2,65

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 4 и 5.

Ответ: 60

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V = a·b·c, где a, b, c – измерения параллелепипеда.

V = 3·4·5 = 60

Формулы для решения задач по стереометрии

Фигура	Формула объема	Формула площади поверхности
Прямоугольный параллелепипед	V = abc	S = 2(ab + bc + ac)
Призма	V = S_осн·h	S = S_бок + 2S_осн
Пирамида	V = (1/3)·S_осн·h	S = S_бок + S_осн
Цилиндр	V = πR²h	S = 2πR² + 2πRh
Конус	V = (1/3)·πR²h	S = πR² + πRl
Шар	V = (4/3)·πR³	S = 4πR²

Задание 3 ЕГЭ: ПРАКТИКА

Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 3.

Начать практику (Задание 3)