Сложная теория вероятностей в контексте ЕГЭ по математике включает в себя более продвинутые концепции и методы решения вероятностных задач. В отличие от простых задач на вероятность, сложные задачи требуют применения формул сложения и умножения вероятностей, понятия условной вероятности, формулы полной вероятности и формулы Байеса.
Задачи на сложную вероятность в ЕГЭ обычно имеют повышенный уровень сложности и требуют глубокого понимания вероятностных концепций. Для успешного решения таких задач необходимо не только знать основные формулы, но и уметь строить вероятностные модели для различных ситуаций.
Одним из ключевых методов решения сложных вероятностных задач является метод "дерева событий", который позволяет визуализировать последовательность событий и вычислять вероятности различных исходов. Этот метод особенно полезен при решении задач, связанных с последовательными испытаниями.
При решении задач на сложную вероятность необходимо тщательно анализировать условие задачи и выбирать подходящий метод решения. Часто бывает полезно нарисовать дерево событий или таблицу для визуализации вероятностной модели.
Типичные ошибки при решении задач на сложную вероятность связаны с неправильным применением формул, неверным построением вероятностной модели, а также с трудностями в интерпретации условной вероятности. Поэтому важно тщательно анализировать условие задачи и выбирать подходящий метод решения.
В первом ящике 3 белых и 2 черных шара, во втором - 2 белых и 4 черных. Из первого ящика наугад вынимают один шар и перекладывают во второй. Затем из второго ящика наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется белым?
Ответ: 0,4
Рассмотрим два случая:
1) Из первого ящика вынули белый шар и переложили во второй. Вероятность этого события: P(Б₁) = 3/5.
После этого во втором ящике будет 3 белых и 4 черных шара. Вероятность вынуть белый шар из второго ящика: P(Б₂|Б₁) = 3/7.
2) Из первого ящика вынули черный шар и переложили во второй. Вероятность этого события: P(Ч₁) = 2/5.
После этого во втором ящике будет 2 белых и 5 черных шаров. Вероятность вынуть белый шар из второго ящика: P(Б₂|Ч₁) = 2/7.
По формуле полной вероятности:
P(Б₂) = P(Б₁) · P(Б₂|Б₁) + P(Ч₁) · P(Б₂|Ч₁) = (3/5) · (3/7) + (2/5) · (2/7) = 9/35 + 4/35 = 13/35 ≈ 0,371
В коробке 10 деталей, из которых 3 бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными?
Ответ: 1/15
Общее число способов выбрать 2 детали из 10: C₁₀² = 10!/(2!·8!) = 45
Число способов выбрать 2 бракованные детали из 3 бракованных: C₃² = 3!/(2!·1!) = 3
Вероятность: P = C₃²/C₁₀² = 3/45 = 1/15
| Формула | Описание |
|---|---|
| P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A·B) | Вероятность суммы событий |
| P(A·B) = P(A) · P(B|A) | Вероятность произведения событий |
| P(A) = Σ P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ) | Формула полной вероятности |
| P(Hᵢ|A) = [P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ)] / P(A) | Формула Байеса |
| P(A) = 1 - P(Ā) | Вероятность через противоположное событие |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 5.