Простейшие уравнения – это базовые уравнения различных типов, которые решаются с помощью стандартных алгоритмов. В задании ЕГЭ по простейшим уравнениям проверяется умение решать линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.
Задачи на простейшие уравнения в ЕГЭ обычно относятся к базовому уровню сложности и требуют знания основных формул и методов решения уравнений различных типов. Для успешного решения таких задач необходимо уметь выполнять алгебраические преобразования, знать свойства функций и уметь применять стандартные алгоритмы решения уравнений.
Линейное уравнение имеет вид ax + b = 0, где a и b – числа, a ≠ 0. Решение: x = -b/a.
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a, b, c – числа, a ≠ 0. Решение находится по формуле: x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a). Дискриминант D = b² - 4ac определяет количество корней: если D > 0, то два корня; если D = 0, то один корень; если D < 0, то корней нет.
Рациональное уравнение – это уравнение вида P(x)/Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) – многочлены. Решение: найти корни числителя P(x) = 0 и исключить значения x, при которых знаменатель Q(x) = 0.
Иррациональное уравнение содержит неизвестное под знаком корня. Основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень с последующей проверкой полученных корней.
Показательное уравнение содержит неизвестное в показателе степени. Основные методы решения: приведение к одному основанию (a^f(x) = a^g(x) ⟹ f(x) = g(x)) или введение новой переменной.
Логарифмическое уравнение содержит неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма. Основные методы решения: использование свойств логарифмов, потенцирование (переход от логарифма к показательной функции) или введение новой переменной.
Тригонометрическое уравнение содержит неизвестное в аргументе тригонометрической функции. Основные методы решения: использование формул приведения, формул двойного и половинного угла, формул сложения и вычитания, а также универсальной подстановки.
При решении уравнений необходимо помнить об области допустимых значений (ОДЗ) и проверять полученные корни. Особенно это касается иррациональных и логарифмических уравнений, где возможно появление посторонних корней.
Типичные ошибки при решении простейших уравнений связаны с неправильным применением формул, ошибками в алгебраических преобразованиях, а также с отсутствием проверки корней. Поэтому важно внимательно выполнять все преобразования и проверять полученные результаты.
Решите уравнение: 2^x = 8
Ответ: 3
Запишем уравнение в виде: 2^x = 2^3
Так как основания степеней равны, то должны быть равны и показатели: x = 3
Решите уравнение: log₂(x + 3) = 4
Ответ: 13
Используем определение логарифма: log₂(x + 3) = 4 означает, что 2^4 = x + 3
2^4 = 16
x + 3 = 16
x = 13
| Тип уравнения | Формула или метод решения |
|---|---|
| Линейное: ax + b = 0 | x = -b/a |
| Квадратное: ax² + bx + c = 0 | x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a) |
| Показательное: a^f(x) = a^g(x) | f(x) = g(x) |
| Логарифмическое: log_a(f(x)) = b | f(x) = a^b |
| Тригонометрические: |
sin x = a, |a| ≤ 1: x = (-1)^n·arcsin a + πn, n ∈ Z cos x = a, |a| ≤ 1: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z tg x = a: x = arctg a + πn, n ∈ Z ctg x = a: x = arcctg a + πn, n ∈ Z |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 6.