Вычисления и преобразования – это задания, требующие выполнения различных математических операций с числами и выражениями. В задании ЕГЭ по вычислениям и преобразованиям проверяется умение выполнять арифметические действия, преобразовывать алгебраические выражения, работать с дробями, степенями, корнями, логарифмами и тригонометрическими функциями.
Задачи на вычисления и преобразования в ЕГЭ обычно относятся к базовому уровню сложности и требуют хорошего знания основных формул и правил выполнения математических операций. Для успешного решения таких задач необходимо уметь выполнять арифметические действия, преобразовывать алгебраические выражения, а также знать свойства степеней, корней, логарифмов и тригонометрических функций.
При сложении и вычитании дробей необходимо привести их к общему знаменателю. При умножении дробей нужно перемножить числители и знаменатели. При делении дробей нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь.
Основные свойства степеней: a^m · a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n), (a^m)^n = a^(m·n), a^0 = 1 (при a ≠ 0), a^(-n) = 1/a^n, (a·b)^n = a^n · b^n, (a/b)^n = a^n / b^n.
Основные свойства корней: √(a·b) = √a · √b, √(a/b) = √a / √b, √a^n = (√a)^n = a^(n/2), √a^2 = |a|.
Основные свойства логарифмов: log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y), log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y), log_a(x^n) = n·log_a(x), log_a(a) = 1, log_a(1) = 0, log_a(a^n) = n.
Основные тригонометрические формулы: sin²α + cos²α = 1, tgα = sinα/cosα, ctgα = cosα/sinα, sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ, cos(α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ, sin2α = 2sinα·cosα, cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α.
При выполнении вычислений и преобразований необходимо быть внимательным и аккуратным, чтобы избежать арифметических ошибок. Также важно помнить об области допустимых значений (ОДЗ) выражений, особенно при работе с корнями и логарифмами.
Типичные ошибки при решении задач на вычисления и преобразования связаны с неправильным применением формул, ошибками в арифметических действиях, а также с невнимательностью при выполнении преобразований. Поэтому важно тщательно проверять все вычисления и преобразования.
Вычислите: (2^3 · 2^5) / 2^4
Ответ: 16
Используем свойства степеней:
(2^3 · 2^5) / 2^4 = 2^(3+5) / 2^4 = 2^8 / 2^4 = 2^(8-4) = 2^4 = 16
Упростите выражение: log₃(27) + log₃(9) - log₃(3)
Ответ: 4
Используем свойства логарифмов:
log₃(27) = log₃(3^3) = 3
log₃(9) = log₃(3^2) = 2
log₃(3) = 1
log₃(27) + log₃(9) - log₃(3) = 3 + 2 - 1 = 4
| Тема | Формулы |
|---|---|
| Степени | a^m · a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n), (a^m)^n = a^(m·n) |
| Корни | √(a·b) = √a · √b, √(a/b) = √a / √b, √a^n = a^(n/2) |
| Логарифмы | log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y), log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y), log_a(x^n) = n·log_a(x) |
| Тригонометрия | sin²α + cos²α = 1, sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ, cos(α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ |
Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 7.