Задание 8 ЕГЭ по профильной математике 2025: Производная и первообразная

Производная и первообразная – это фундаментальные понятия математического анализа, которые позволяют исследовать функции и решать различные прикладные задачи. В задании ЕГЭ по производной и первообразной проверяется умение находить производные и первообразные функций, а также применять их для решения задач.

Теория для подготовки к заданию

Задачи на производную и первообразную в ЕГЭ обычно относятся к среднему уровню сложности и требуют понимания основных понятий и формул математического анализа. Для успешного решения таких задач необходимо знать определение производной и первообразной, правила дифференцирования и интегрирования, а также уметь применять эти знания для исследования функций и решения прикладных задач.

Производная функции

Производная функции f(x) в точке x₀ – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: f'(x₀) = lim(Δx→0) (f(x₀+Δx) - f(x₀))/Δx. Геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке. Физический смысл производной – это скорость изменения функции.

Правила дифференцирования

(C)' = 0, где C – константа
(x^n)' = n·x^(n-1)
(u + v)' = u' + v'
(u·v)' = u'·v + u·v'
(u/v)' = (u'·v - u·v')/v²
(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) – правило цепочки

Производные основных элементарных функций

(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(tg x)' = 1/cos²x = 1 + tg²x
(ctg x)' = -1/sin²x = -(1 + ctg²x)
(e^x)' = e^x
(a^x)' = a^x·ln a
(ln x)' = 1/x
(log_a x)' = 1/(x·ln a)

Первообразная функции

Первообразная функции f(x) – это функция F(x), производная которой равна f(x): F'(x) = f(x). Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную величину: F(x) = G(x) + C, где C – произвольная постоянная.

Правила интегрирования

∫C·f(x)dx = C·∫f(x)dx, где C – константа
∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
∫f'(g(x))·g'(x)dx = f(g(x)) + C

Таблица первообразных основных элементарных функций

∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, n ≠ -1
∫dx/x = ln|x| + C
∫sin x dx = -cos x + C
∫cos x dx = sin x + C
∫dx/cos²x = tg x + C
∫dx/sin²x = -ctg x + C
∫e^x dx = e^x + C
∫a^x dx = a^x/ln a + C

Важно!

При решении задач на производную и первообразную необходимо помнить о правилах дифференцирования и интегрирования, а также о таблице производных и первообразных основных элементарных функций. Также важно уметь применять производную для исследования функций (нахождение экстремумов, промежутков возрастания и убывания, точек перегиба) и первообразную для вычисления площадей и объемов.

Алгоритм решения задач на производную

Определить, какую функцию нужно дифференцировать
Применить правила дифференцирования и таблицу производных
Выполнить необходимые алгебраические преобразования
Проверить полученный результат

Алгоритм решения задач на первообразную

Определить, какую функцию нужно интегрировать
Применить правила интегрирования и таблицу первообразных
Выполнить необходимые алгебраические преобразования
Не забыть добавить произвольную постоянную C

Примеры задач

Найдите производную функции f(x) = x³ - 3x² + 2x - 5.

Ответ: f'(x) = 3x² - 6x + 2

Используем правила дифференцирования:

(x³)' = 3x²

(-3x²)' = -6x

(2x)' = 2

(-5)' = 0

f'(x) = 3x² - 6x + 2

Найдите первообразную функции f(x) = 2x + cos x.

Ответ: F(x) = x² + sin x + C

Используем правила интегрирования:

∫(2x + cos x)dx = ∫2x dx + ∫cos x dx

∫2x dx = 2·∫x dx = 2·(x²/2) = x²

∫cos x dx = sin x

F(x) = x² + sin x + C, где C – произвольная постоянная

Применение производной и первообразной

Применение производной	Применение первообразной
Нахождение скорости и ускорения Исследование функций на монотонность Нахождение экстремумов функции Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции Исследование функций на выпуклость и вогнутость Нахождение точек перегиба	Вычисление площадей фигур Вычисление объемов тел вращения Нахождение пути по известной скорости Вычисление работы переменной силы Решение дифференциальных уравнений

Применение производной

Применение первообразной

Нахождение скорости и ускорения
Исследование функций на монотонность
Нахождение экстремумов функции
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
Исследование функций на выпуклость и вогнутость
Нахождение точек перегиба

Вычисление площадей фигур
Вычисление объемов тел вращения
Нахождение пути по известной скорости
Вычисление работы переменной силы
Решение дифференциальных уравнений

Задание 8 ЕГЭ: ПРАКТИКА

Закрепите теорию на практике! Попробуйте решить несколько вариантов задания 8.

Начать практику (Задание 8)