Задание DDDD90

Переносим все члены в левую часть: $2\sin x \cos^2 x + \sqrt{3} - \sqrt{3}\sin^2 x = 0$. Результат: $2\sin x \cos^2 x - \sqrt{3}\sin^2 x + \sqrt{3} = 0$.

Используем $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $2\sin x (1 - \sin^2 x) - \sqrt{3}\sin^2 x + \sqrt{3} = 0$. Раскрываем скобки: $2\sin x - 2\sin^3 x - \sqrt{3}\sin^2 x + \sqrt{3} = 0$. Результат: кубическое уравнение относительно $t = \sin x$: $-2t^3 - \sqrt{3}t^2 + 2t + \sqrt{3} = 0$.

Умножаем на $-1$: $2t^3 + \sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$. Группируем: $(2t^3 - 2t) + (\sqrt{3}t^2 - \sqrt{3}) = 0$, $2t(t^2 - 1) + \sqrt{3}(t^2 - 1) = 0$, $(t^2 - 1)(2t + \sqrt{3}) = 0$. Результат: разложение на множители.

Решаем $(t^2 - 1)(2t + \sqrt{3}) = 0$: $t^2 - 1 = 0 \Rightarrow t = \pm 1$, $2t + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow t = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Результат: $\sin x = 1$, $\sin x = -1$, $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим общие решения:
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;
- $\sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$;
- $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Отбираем корни на отрезке $\left[\frac{7\pi}{2}; 5\pi\right]$.
1. $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: $\frac{7\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 5\pi \Rightarrow 1.5 \le k \le 2.25 \Rightarrow k = 2$, $x = \frac{9\pi}{2}$.
2. $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$: $\frac{7\pi}{2} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \le 5\pi \Rightarrow 1 \le k \le 1.75 \Rightarrow k = 1$, $x = \frac{7\pi}{2}$.
3. $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $\frac{7\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 5\pi \Rightarrow 1.917 \le k \le 2.667 \Rightarrow k = 2$, $x = \frac{11\pi}{3}$.
4. $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$: $\frac{7\pi}{2} \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le 5\pi \Rightarrow 1.083 \le k \le 1.833 \Rightarrow k = 1$ даёт $x = \frac{10\pi}{3} < \frac{7\pi}{2}$, $k = 2$ даёт $x = \frac{16\pi}{3} > 5\pi$ — не подходят.