Шаг 1
Если все числа кратны 3, то минимальная сумма достигается при 30 наименьших различных кратных трём: $3, 6, \ldots, 90$. Их сумма равна $3 + 6 + \ldots + 90 = 1395$. Поэтому сумма не может быть меньше 1395.
Шаг 2
Пусть ровно одно число красное. Тогда 29 чисел — зелёные. Минимальная сумма 29 наименьших различных кратных трём: $3 + 6 + \ldots + 87 = 1305$. Красное число кратно 7 и не меньше 7, поэтому общая сумма не меньше $1305 + 7 = 1312$. Это больше 1067, значит, ровно одно красное число невозможно.
Шаг 3
Пусть $r$ — количество красных чисел, тогда зелёных $30 - r$. Минимальная сумма зелёных: $3 \cdot \frac{(30-r)(31-r)}{2}$. Минимальная сумма красных: $7 \cdot \frac{r(r+1)}{2}$. Общая минимальная сумма:
$S_{\min}(r) = \frac{3}{2}(30-r)(31-r) + \frac{7}{2}r(r+1)$.
Вычислим для нескольких $r$:
- При $r = 5$: $S_{\min}(5) = \frac{3}{2} \cdot 25 \cdot 26 + \frac{7}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 975 + 105 = 1080 > 1067$.
- При $r = 6$: $S_{\min}(6) = \frac{3}{2} \cdot 24 \cdot 25 + \frac{7}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 900 + 147 = 1047 < 1067$.
Так как $1047 < 1067$, а $1080 > 1067$, то при $r = 6$ минимальная сумма меньше 1067, и её можно увеличить до 1067, увеличивая некоторые числа (сохраняя кратность и различимость). При $r = 5$ минимальная сумма уже превышает 1067, поэтому меньше 6 красных чисел быть не может.
$S_{\min}(r) = \frac{3}{2}(30-r)(31-r) + \frac{7}{2}r(r+1)$.
Вычислим для нескольких $r$:
- При $r = 5$: $S_{\min}(5) = \frac{3}{2} \cdot 25 \cdot 26 + \frac{7}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 975 + 105 = 1080 > 1067$.
- При $r = 6$: $S_{\min}(6) = \frac{3}{2} \cdot 24 \cdot 25 + \frac{7}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 900 + 147 = 1047 < 1067$.
Так как $1047 < 1067$, а $1080 > 1067$, то при $r = 6$ минимальная сумма меньше 1067, и её можно увеличить до 1067, увеличивая некоторые числа (сохраняя кратность и различимость). При $r = 5$ минимальная сумма уже превышает 1067, поэтому меньше 6 красных чисел быть не может.
Окончательный ответ:
6