Шаг 1
Найдём ОДЗ.
Основание: $(x-2)^2 > 0$ и $(x-2)^2 \neq 1$, откуда $x \neq 2$, $x \neq 1$, $x \neq 3$.
Аргумент: $x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) > 0 \Rightarrow x < 2$ или $x > 3$.
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x < 1$ или $1 < x < 2$ или $x > 3$.
Основание: $(x-2)^2 > 0$ и $(x-2)^2 \neq 1$, откуда $x \neq 2$, $x \neq 1$, $x \neq 3$.
Аргумент: $x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) > 0 \Rightarrow x < 2$ или $x > 3$.
Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x < 1$ или $1 < x < 2$ или $x > 3$.
Результат:
ОДЗ: $(-\infty, 1) \cup (1, 2) \cup (3, +\infty)$.
Шаг 2
Рассмотрим два случая для основания $(x-2)^2$.
Случай 1: $(x-2)^2 > 1 \Rightarrow x < 1$ или $x > 3$.
Неравенство $\log_{(x-2)^2}(x^2 - 5x + 6) \geq 1$ сохраняет знак:
$x^2 - 5x + 6 \geq (x-2)^2$.
Случай 2: $0 < (x-2)^2 < 1 \Rightarrow 1 < x < 3$, $x \neq 2$, т.е. $1 < x < 2$ или $2 < x < 3$.
Неравенство меняет знак:
$x^2 - 5x + 6 \leq (x-2)^2$.
Случай 1: $(x-2)^2 > 1 \Rightarrow x < 1$ или $x > 3$.
Неравенство $\log_{(x-2)^2}(x^2 - 5x + 6) \geq 1$ сохраняет знак:
$x^2 - 5x + 6 \geq (x-2)^2$.
Случай 2: $0 < (x-2)^2 < 1 \Rightarrow 1 < x < 3$, $x \neq 2$, т.е. $1 < x < 2$ или $2 < x < 3$.
Неравенство меняет знак:
$x^2 - 5x + 6 \leq (x-2)^2$.
Результат:
разбиение на случаи завершено.
Шаг 3
Решаем неравенство для Случая 1.
$x^2 - 5x + 6 \geq x^2 - 4x + 4 \Rightarrow -x \geq -2 \Rightarrow x \leq 2$.
Учитывая условия $x < 1$ или $x > 3$ и ОДЗ, получаем:
при $x < 1$ условие $x \leq 2$ выполняется;
при $x > 3$ условие $x \leq 2$ не выполняется.
Итак, решение Случая 1: $x < 1$.
$x^2 - 5x + 6 \geq x^2 - 4x + 4 \Rightarrow -x \geq -2 \Rightarrow x \leq 2$.
Учитывая условия $x < 1$ или $x > 3$ и ОДЗ, получаем:
при $x < 1$ условие $x \leq 2$ выполняется;
при $x > 3$ условие $x \leq 2$ не выполняется.
Итак, решение Случая 1: $x < 1$.
Шаг 4
Решаем неравенство для Случая 2.
$x^2 - 5x + 6 \leq x^2 - 4x + 4 \Rightarrow -x \leq -2 \Rightarrow x \geq 2$.
Учитывая условия $1 < x < 2$ или $2 < x < 3$ и ОДЗ (где $x^2 - 5x + 6 > 0$), получаем:
для $1 < x < 2$ условие $x \geq 2$ не выполняется;
для $2 < x < 3$ аргумент логарифма отрицателен (не входит в ОДЗ).
Итак, решение Случая 2: нет решений.
$x^2 - 5x + 6 \leq x^2 - 4x + 4 \Rightarrow -x \leq -2 \Rightarrow x \geq 2$.
Учитывая условия $1 < x < 2$ или $2 < x < 3$ и ОДЗ (где $x^2 - 5x + 6 > 0$), получаем:
для $1 < x < 2$ условие $x \geq 2$ не выполняется;
для $2 < x < 3$ аргумент логарифма отрицателен (не входит в ОДЗ).
Итак, решение Случая 2: нет решений.
Шаг 5
Объединяем решения.
Из Случая 1: $x < 1$; из Случая 2: решений нет.
С учётом ОДЗ окончательное решение: $x < 1$.
Из Случая 1: $x < 1$; из Случая 2: решений нет.
С учётом ОДЗ окончательное решение: $x < 1$.
Окончательный ответ:
$(-\infty, 1)$