Шаг 1
Введем систему координат.
Результат:
Поместим центр основания O в начало координат. Тогда O = (0, 0, 0), S = (0, 0, √14). Сторона квадрата основания AB = 2, поэтому A = (-1, -1, 0), B = (1, -1, 0), C = (1, 1, 0), D = (-1, 1, 0).
Шаг 2
Найдем координаты точек M и K.
Результат:
M — середина SC: M = ((0+1)/2, (0+1)/2, (√14+0)/2) = (0.5, 0.5, √14/2). Точка K делит BC в отношении BK:KC = 3:1, поэтому K = (1, -1 + (3/4)*2, 0) = (1, 0.5, 0).
Шаг 3
Докажем, что плоскость OMK параллельна прямой SA.
Результат:
Вектор SA = A - S = (-1, -1, -√14). Найдем нормальный вектор n плоскости OMK через векторное произведение: OM = (0.5, 0.5, √14/2), OK = (1, 0.5, 0). Тогда n = OM × OK = ( (0.5*0 - (√14/2)*0.5), ((√14/2)*1 - 0.5*0), (0.5*0.5 - 0.5*1) ) = ( -√14/4, √14/2, -0.25 ). Скалярное произведение SA·n = (-1)*(-√14/4) + (-1)*(√14/2) + (-√14)*(-0.25) = √14/4 - √14/2 + √14/4 = 0. Значит, SA перпендикулярен n, следовательно, SA параллелен плоскости OMK.
Шаг 4
Найдем уравнение плоскости OMK.
Результат:
Используя вектор n = (-√14/4, √14/2, -1/4), умножим на -4 для упрощения: (√14, -2√14, 1). Уравнение: √14*x - 2√14*y + 1*z = 0, или z = -√14*x + 2√14*y.
Шаг 5
Найдем уравнение плоскости SAD.
Результат:
Плоскость проходит через точки S(0,0,√14), A(-1,-1,0), D(-1,1,0). Векторы AS = (1,1,√14) и AD = (0,2,0). Нормаль m = AS × AD = ( (1*0 - √14*2), (√14*0 - 1*0), (1*2 - 1*0) ) = (-2√14, 0, 2). Уравнение: -2√14*(x+1) + 0*(y+1) + 2*(z-0) = 0, что упрощается до z = √14*(x+1).
Шаг 6
Найдем линию пересечения плоскостей OMK и SAD.
Результат:
Приравниваем выражения для z: -√14*x + 2√14*y = √14*(x+1). Сокращаем √14 (√14 > 0): -x + 2y = x + 1 ⇒ 2y = 2x + 1 ⇒ y = x + 1/2. Подставляем в уравнение плоскости SAD: z = √14*(x+1). Параметризуем через x = t: линия L: (t, t + 1/2, √14*(t+1)).
Шаг 7
Найдем точки пересечения линии L с гранями SAD (треугольник ASD).
На AD: x = -1 (так как AD: x = -1, z = 0, y ∈ [-1,1]). Из L: при x = -1, y = -1/2, z = 0. Точка P = (-1, -0.5, 0) лежит на AD, так как y = -0.5 ∈ [-1,1].
На SD: параметризуем SD: S + μ*(D - S) = (0,0,√14) + μ*(-1,1,-√14) = (-μ, μ, √14(1-μ)), μ ∈ [0,1]. Приравниваем к L: t = -μ, t+1/2 = μ, √14(t+1) = √14(1-μ). Из первых двух: -μ + 1/2 = μ ⇒ 1/2 = 2μ ⇒ μ = 1/4, t = -1/4. Проверяем третье: левая часть √14(-1/4+1)=√14*(3/4), правая √14(1-1/4)=√14*(3/4). Точка Q = (-1/4, 1/4, 3√14/4).
Результат:
Грань ограничена отрезками AS, AD и SD.
На AD: x = -1 (так как AD: x = -1, z = 0, y ∈ [-1,1]). Из L: при x = -1, y = -1/2, z = 0. Точка P = (-1, -0.5, 0) лежит на AD, так как y = -0.5 ∈ [-1,1].
На SD: параметризуем SD: S + μ*(D - S) = (0,0,√14) + μ*(-1,1,-√14) = (-μ, μ, √14(1-μ)), μ ∈ [0,1]. Приравниваем к L: t = -μ, t+1/2 = μ, √14(t+1) = √14(1-μ). Из первых двух: -μ + 1/2 = μ ⇒ 1/2 = 2μ ⇒ μ = 1/4, t = -1/4. Проверяем третье: левая часть √14(-1/4+1)=√14*(3/4), правая √14(1-1/4)=√14*(3/4). Точка Q = (-1/4, 1/4, 3√14/4).
Шаг 8
Вычислим длину отрезка PQ.
Результат:
Вектор PQ = Q - P = (0.75, 0.75, 3√14/4). Длина = √( (0.75)² + (0.75)² + (3√14/4)² ) = √( 9/16 + 9/16 + (9*14)/16 ) = √( (9+9+126)/16 ) = √(144/16) = √9 = 3.
Окончательный ответ:
3