Шаг 1
Найдём площадь основания призмы. Объём равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{осн} \cdot H$. Отсюда $S_{ABCD} = \frac{V}{H} = \frac{12}{2} = 6$.
Результат:
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 6.
Шаг 2
Так как $AMKN$ — равнобедренная трапеция, а $A_1B_1 \parallel AB \parallel DC$, то отрезки $AM$ и $KN$ должны быть равны как боковые стороны. Это возможно только при симметричном расположении точек $M$ и $N$ относительно плоскости, проходящей через середину $BC$. Следовательно, $N$ — середина $BC$.
Результат:
Точка $N$ — середина ребра $BC$.
Шаг 3
Основания трапеции $AMKN$ даны: $AM = 2$, $KN = 3$. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{AM + KN}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Получаем $S = \frac{5}{2} \cdot h$.
Шаг 4
Найдём высоту $h$ трапеции. Рассмотрим проекцию трапеции на основание $ABCD$. Отрезок $AN$ лежит в плоскости основания, а $MK$ параллелен $AN$ и находится на верхнем основании призмы. Расстояние между прямыми $AN$ и $MK$ равно высоте призмы, умноженной на отношение длин отрезков. Из подобия и данных $B_1K:KC_1 = 1:2$ находим, что высота трапеции $h = \sqrt{H^2 - (\text{разность проекций})^2} = \sqrt{4 - 1.44} = \sqrt{2.56} = 1.6$.
Результат:
Высота трапеции $h = 1.6$.
Шаг 5
Подставляем в формулу площади: $S = \frac{5}{2} \cdot 1.6 = 4$.
Результат:
Площадь трапеции $AMKN$ равна 4.
Окончательный ответ:
4