Шаг 1
Введем систему координат. Пусть $A(0,0)$, $D(15,0)$. Так как $AD \parallel BC$ и $AD = 3BC$, то $BC = 5$. Для равнобедренной трапеции $AB = CD$, поэтому координаты вершин: $B(5, h)$, $C(10, h)$.
Шаг 2
Высота $CH$ опущена из $C$ на $AD$, поэтому $H(10,0)$. Тогда $AH = 10$, $HD = 5$, что доказывает утверждение пункта а): $AH = 2 \cdot HD$.
Шаг 3
Из условия $AC = 2\sqrt{61}$ находим высоту $h$. По формуле расстояния: $AC^2 = (10-0)^2 + (h-0)^2 = 100 + h^2 = (2\sqrt{61})^2 = 244$. Отсюда $h^2 = 144$ и $h = 12$ (высота положительна).
Шаг 4
Найдем середину $M$ диагонали $BD$. Координаты $B(5,12)$, $D(15,0)$, поэтому $M\left( \frac{5+15}{2}, \frac{12+0}{2} \right) = (10, 6)$.
Шаг 5
Искомое расстояние от $C(10,12)$ до $M(10,6)$ равно $|12 - 6| = 6$.
Окончательный ответ:
6