Шаг 1
Введём замену $t = \log_{2}(25-x^{2})$. Исходное неравенство принимает вид $t^{2} - 7t + 12 \ge 0$.
Шаг 2
Решаем квадратное неравенство: $(t-3)(t-4) \ge 0$. Решения: $t \le 3$ или $t \ge 4$.
Шаг 3
Возвращаемся к исходной переменной, учитывая область определения логарифма: $25 - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 25 \Rightarrow x \in (-5, 5)$.
Шаг 4
Рассмотрим два случая.
1) $t \le 3$: $\log_{2}(25-x^{2}) \le 3 \Rightarrow 25 - x^{2} \le 8 \Rightarrow x^{2} \ge 17$. С учётом области определения: $17 \le x^{2} < 25$. Получаем $x \in (-5, -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, 5)$.
2) $t \ge 4$: $\log_{2}(25-x^{2}) \ge 4 \Rightarrow 25 - x^{2} \ge 16 \Rightarrow x^{2} \le 9$. С учётом области определения: $x^{2} \le 9$ и $x^{2} < 25$. Получаем $x \in [-3, 3]$.
1) $t \le 3$: $\log_{2}(25-x^{2}) \le 3 \Rightarrow 25 - x^{2} \le 8 \Rightarrow x^{2} \ge 17$. С учётом области определения: $17 \le x^{2} < 25$. Получаем $x \in (-5, -\sqrt{17}] \cup [\sqrt{17}, 5)$.
2) $t \ge 4$: $\log_{2}(25-x^{2}) \ge 4 \Rightarrow 25 - x^{2} \ge 16 \Rightarrow x^{2} \le 9$. С учётом области определения: $x^{2} \le 9$ и $x^{2} < 25$. Получаем $x \in [-3, 3]$.
Окончательный ответ:
$x \in (-5, -\sqrt{17}] \cup [-3, 3] \cup [\sqrt{17}, 5)$.