Шаг 1
Введём систему координат. Поместим начало в точку A. Тогда A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0). Центр основания O(3,3,0). Высота пирамиды h = $\sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{7^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{31}$. Поэтому S(3,3,$\sqrt{31}$).
Шаг 2
Найдём координаты точек N и K.
Точка N делит отрезок CD в отношении DN:NC = 1:2. Координаты: N = $\left(0 + \frac{2}{3}(6-0), 6, 0\right) = (4, 6, 0)$? Проверим: D(0,6,0), C(6,6,0). Вектор DC = (6,0,0). От D: N = D + (1/3)DC = (0+2, 6, 0) = (2,6,0). Верно: N(2,6,0).
Точка K делит SC в отношении SK:KC = 1:2. Координаты: K = S + (1/3)(C - S) = $\left(3 + \frac{1}{3}(6-3), 3 + \frac{1}{3}(6-3), \sqrt{31} + \frac{1}{3}(0-\sqrt{31})\right) = \left(4, 4, \frac{2\sqrt{31}}{3}\right)$.
Итак: N(2,6,0), K(4,4,$\frac{2\sqrt{31}}{3}$).
Точка N делит отрезок CD в отношении DN:NC = 1:2. Координаты: N = $\left(0 + \frac{2}{3}(6-0), 6, 0\right) = (4, 6, 0)$? Проверим: D(0,6,0), C(6,6,0). Вектор DC = (6,0,0). От D: N = D + (1/3)DC = (0+2, 6, 0) = (2,6,0). Верно: N(2,6,0).
Точка K делит SC в отношении SK:KC = 1:2. Координаты: K = S + (1/3)(C - S) = $\left(3 + \frac{1}{3}(6-3), 3 + \frac{1}{3}(6-3), \sqrt{31} + \frac{1}{3}(0-\sqrt{31})\right) = \left(4, 4, \frac{2\sqrt{31}}{3}\right)$.
Итак: N(2,6,0), K(4,4,$\frac{2\sqrt{31}}{3}$).
Шаг 3
Плоскость $\alpha$ содержит прямую KN и параллельна прямой BC. Значит, она содержит вектор $\overrightarrow{KN} = (-2, 2, -\frac{2\sqrt{31}}{3})$ и вектор $\overrightarrow{BC} = (0, 6, 0)$.
Проверим параллельность SA плоскости $\alpha$. Вектор $\overrightarrow{SA} = (-3, -3, -\sqrt{31})$. Нужно показать, что SA можно выразить через KN и BC. Действительно, $\overrightarrow{SA} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{KN} + 1 \cdot \overrightarrow{BC}$, так как:
$-\frac{3}{2} \cdot (-2, 2, -\frac{2\sqrt{31}}{3}) + (0,6,0) = (3, -3, \sqrt{31}) + (0,6,0) = (3,3,\sqrt{31}) = -\overrightarrow{SA}$? Проверим знаки: $\overrightarrow{SA} = A - S = (-3, -3, -\sqrt{31})$. Тогда $-\frac{3}{2} \overrightarrow{KN} = (3, -3, \sqrt{31})$. Прибавим BC(0,6,0): получаем (3,3,$\sqrt{31}$) = $-\overrightarrow{SA}$. Значит, $\overrightarrow{SA}$ коллинеарен комбинации векторов KN и BC, то есть лежит в плоскости, параллельной $\alpha$. Что и требовалось доказать.
Проверим параллельность SA плоскости $\alpha$. Вектор $\overrightarrow{SA} = (-3, -3, -\sqrt{31})$. Нужно показать, что SA можно выразить через KN и BC. Действительно, $\overrightarrow{SA} = -\frac{3}{2} \overrightarrow{KN} + 1 \cdot \overrightarrow{BC}$, так как:
$-\frac{3}{2} \cdot (-2, 2, -\frac{2\sqrt{31}}{3}) + (0,6,0) = (3, -3, \sqrt{31}) + (0,6,0) = (3,3,\sqrt{31}) = -\overrightarrow{SA}$? Проверим знаки: $\overrightarrow{SA} = A - S = (-3, -3, -\sqrt{31})$. Тогда $-\frac{3}{2} \overrightarrow{KN} = (3, -3, \sqrt{31})$. Прибавим BC(0,6,0): получаем (3,3,$\sqrt{31}$) = $-\overrightarrow{SA}$. Значит, $\overrightarrow{SA}$ коллинеарен комбинации векторов KN и BC, то есть лежит в плоскости, параллельной $\alpha$. Что и требовалось доказать.
Шаг 4
Найдём угол между плоскостями $\alpha$ и (SBC).
Для плоскости (SBC): векторы $\overrightarrow{SB} = (3, -3, -\sqrt{31})$ и $\overrightarrow{SC} = (3, 3, -\sqrt{31})$. Нормальный вектор $n_1 = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}$. Вычислим:
$n_1 = \left( (-3)(-\sqrt{31}) - (-\sqrt{31})(3), (-\sqrt{31})(3) - (3)(-\sqrt{31}), (3)(3) - (-3)(3) \right) = \left( 3\sqrt{31}+3\sqrt{31}, -3\sqrt{31}+3\sqrt{31}, 9+9 \right) = \left( 6\sqrt{31}, 0, 18 \right) = 6\left( \sqrt{31}, 0, 3 \right)$.
Для плоскости $\alpha$: векторы $\overrightarrow{KN} = (-2, 2, -\frac{2\sqrt{31}}{3})$ и $\overrightarrow{BC} = (0,6,0)$. Нормальный вектор $n_2 = \overrightarrow{KN} \times \overrightarrow{BC}$.
$n_2 = \left( 2 \cdot 0 - (-\frac{2\sqrt{31}}{3}) \cdot 6, (-\frac{2\sqrt{31}}{3}) \cdot 0 - (-2) \cdot 0, (-2) \cdot 6 - 2 \cdot 0 \right) = \left( 0 + 4\sqrt{31}, 0, -12 \right) = \left( 4\sqrt{31}, 0, -12 \right) = 4\left( \sqrt{31}, 0, -3 \right)$.
Угол $\varphi$ между плоскостями равен углу между их нормалями (или дополнению до 180°). Возьмём векторы $n_1' = (\sqrt{31}, 0, 3)$ и $n_2' = (\sqrt{31}, 0, -3)$.
$\cos \varphi = \frac{|n_1' \cdot n_2'|}{|n_1'| \cdot |n_2'|} = \frac{|\sqrt{31} \cdot \sqrt{31} + 0 + 3 \cdot (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{31})^2 + 0^2 + 3^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{31})^2 + 0^2 + (-3)^2}} = \frac{|31 - 9|}{\sqrt{31+9} \cdot \sqrt{31+9}} = \frac{22}{40} = \frac{11}{20}$.
Следовательно, $\varphi = \arccos\left( \frac{11}{20} \right) \approx 56.6^\circ$.
Для плоскости (SBC): векторы $\overrightarrow{SB} = (3, -3, -\sqrt{31})$ и $\overrightarrow{SC} = (3, 3, -\sqrt{31})$. Нормальный вектор $n_1 = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}$. Вычислим:
$n_1 = \left( (-3)(-\sqrt{31}) - (-\sqrt{31})(3), (-\sqrt{31})(3) - (3)(-\sqrt{31}), (3)(3) - (-3)(3) \right) = \left( 3\sqrt{31}+3\sqrt{31}, -3\sqrt{31}+3\sqrt{31}, 9+9 \right) = \left( 6\sqrt{31}, 0, 18 \right) = 6\left( \sqrt{31}, 0, 3 \right)$.
Для плоскости $\alpha$: векторы $\overrightarrow{KN} = (-2, 2, -\frac{2\sqrt{31}}{3})$ и $\overrightarrow{BC} = (0,6,0)$. Нормальный вектор $n_2 = \overrightarrow{KN} \times \overrightarrow{BC}$.
$n_2 = \left( 2 \cdot 0 - (-\frac{2\sqrt{31}}{3}) \cdot 6, (-\frac{2\sqrt{31}}{3}) \cdot 0 - (-2) \cdot 0, (-2) \cdot 6 - 2 \cdot 0 \right) = \left( 0 + 4\sqrt{31}, 0, -12 \right) = \left( 4\sqrt{31}, 0, -12 \right) = 4\left( \sqrt{31}, 0, -3 \right)$.
Угол $\varphi$ между плоскостями равен углу между их нормалями (или дополнению до 180°). Возьмём векторы $n_1' = (\sqrt{31}, 0, 3)$ и $n_2' = (\sqrt{31}, 0, -3)$.
$\cos \varphi = \frac{|n_1' \cdot n_2'|}{|n_1'| \cdot |n_2'|} = \frac{|\sqrt{31} \cdot \sqrt{31} + 0 + 3 \cdot (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{31})^2 + 0^2 + 3^2} \cdot \sqrt{(\sqrt{31})^2 + 0^2 + (-3)^2}} = \frac{|31 - 9|}{\sqrt{31+9} \cdot \sqrt{31+9}} = \frac{22}{40} = \frac{11}{20}$.
Следовательно, $\varphi = \arccos\left( \frac{11}{20} \right) \approx 56.6^\circ$.
Окончательный ответ:
$\arccos\left( \frac{11}{20} \right) \approx 56.6^\circ$.