а) Доказательство, что сечение — трапеция
Шаг 1: Построение сечения.
Плоскость $\alpha$ содержит $MN$ и параллельна $SO$. Проведём в плоскости $SAB$ через $M$ прямую $MP \parallel SO$ ($P \in SA$). В плоскости $SCD$ через $N$ прямую $NQ \parallel SO$ ($Q \in SD$). Тогда $MNPQ$ — сечение.
Шаг 2: Докажем, что $PQ \parallel MN$.
Прямая $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$, поэтому $MN \parallel AD$. Плоскость $SAD$ содержит $AD$. Так как $MN \parallel AD$, то $MN$ параллельна плоскости $SAD$. Плоскость $\alpha$ проходит через $MN$ и пересекает $SAD$ по прямой $PQ$. По свойству: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения параллельна этой прямой. Следовательно, $PQ \parallel MN$.
Шаг 3: В сечении $MNPQ$ стороны $MP$ и $NQ$ параллельны (по построению $MP \parallel SO \parallel NQ$). Таким образом, $MNPQ$ — параллелограмм (две пары параллельных сторон), а значит, и трапеция.
Плоскость $\alpha$ содержит $MN$ и параллельна $SO$. Проведём в плоскости $SAB$ через $M$ прямую $MP \parallel SO$ ($P \in SA$). В плоскости $SCD$ через $N$ прямую $NQ \parallel SO$ ($Q \in SD$). Тогда $MNPQ$ — сечение.
Шаг 2: Докажем, что $PQ \parallel MN$.
Прямая $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$, поэтому $MN \parallel AD$. Плоскость $SAD$ содержит $AD$. Так как $MN \parallel AD$, то $MN$ параллельна плоскости $SAD$. Плоскость $\alpha$ проходит через $MN$ и пересекает $SAD$ по прямой $PQ$. По свойству: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения параллельна этой прямой. Следовательно, $PQ \parallel MN$.
Шаг 3: В сечении $MNPQ$ стороны $MP$ и $NQ$ параллельны (по построению $MP \parallel SO \parallel NQ$). Таким образом, $MNPQ$ — параллелограмм (две пары параллельных сторон), а значит, и трапеция.
б) Нахождение площади сечения
Шаг 1: Найдём $MN$.
$MN$ — средняя линия трапеции:
$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9$.
Шаг 2: Введём координаты.
Поместим основание в плоскость $z=0$:
$A(0,0,0)$, $D(10,0,0)$. Пусть высота трапеции $h$, тогда $B(1, h, 0)$, $C(9, h, 0)$ (так как $BC=8$).
$M$ — середина $AB$: $M\left(0.5, \frac{h}{2}, 0\right)$.
$N$ — середина $CD$: $N\left(9.5, \frac{h}{2}, 0\right)$.
$O$ — пересечение $AC$ и $BD$. Решая уравнения прямых, находим $O\left(5, \frac{5h}{9}, 0\right)$.
Шаг 3: Определим координаты $S$.
Из условия $SO \perp AD$ ($AD$ вдоль оси $Ox$) следует, что $S$ и $O$ имеют одинаковую $x$-координату: $S(5, y_s, z_s)$.
Длина $SO = 8$:
$(y_s - \frac{5h}{9})^2 + z_s^2 = 64$.
Шаг 4: Найдём точки $P$ и $Q$.
Так как $MP \parallel SO$, то $P$ лежит на $SA$ и $MP \parallel SO$.
Параметризуем $SA$: $P = A + t \cdot \vec{AS} = (5t, t y_s, t z_s)$.
Вектор $MP = (5t - 0.5, t y_s - \frac{h}{2}, t z_s)$.
Условие $MP \parallel SO$: $(5t - 0.5, t y_s - \frac{h}{2}, t z_s) = \lambda (0, \frac{5h}{9} - y_s, -z_s)$.
Из первой координаты: $5t - 0.5 = 0 \Rightarrow t = 0.1$.
Аналогично для $Q$ на $SD$ получаем $u = 0.1$.
Таким образом:
$P(0.5, 0.1 y_s, 0.1 z_s)$, $Q(9.5, 0.1 y_s, 0.1 z_s)$.
Шаг 5: Длины сторон.
$PQ = \sqrt{(9.5 - 0.5)^2} = 9$, значит $PQ = MN = 9$.
$MP = \sqrt{(0.1 y_s - \frac{h}{2})^2 + (0.1 z_s)^2}$.
Шаг 6: Используем параллельность $MP$ и $SO$.
Вектор $SO = (0, \frac{5h}{9} - y_s, -z_s)$. Так как $MP \parallel SO$, то $MP = k \cdot SO$.
Из $z$-координаты: $0.1 z_s = -k z_s$.
Если $z_s \neq 0$, то $k = -0.1$. Подставляем в $y$-координату:
$0.1 y_s - \frac{h}{2} = -0.1 \left( \frac{5h}{9} - y_s \right) \Rightarrow -\frac{h}{2} = -\frac{0.5h}{9} \Rightarrow h=0$, что невозможно.
Значит, $z_s = 0$ (то есть $SO$ лежит в плоскости основания, но это не противоречит условию $SO \perp AD$).
Шаг 7: При $z_s=0$ из $SO=8$: $|y_s - \frac{5h}{9}| = 8$.
Выберем $h=8$ (высота трапеции) для удобства. Тогда $O\left(5, \frac{40}{9}\right)$, $y_s = \frac{40}{9} + 8 = \frac{112}{9}$.
Тогда $M(0.5, 4, 0)$, $P\left(0.5, \frac{112}{90}, 0\right) = \left(0.5, \frac{56}{45}, 0\right)$.
$MP = \left| 4 - \frac{56}{45} \right| = \frac{180 - 56}{45} = \frac{124}{45}$.
Шаг 8: Площадь сечения.
$MNPQ$ — параллелограмм со сторонами $MN=9$ и высотой, равной длине $MP$ (так как $MN \parallel PQ$ и $MP \perp MN$).
Площадь $S = MN \cdot MP = 9 \cdot \frac{124}{45} = \frac{124}{5} = 24.8$.
$MN$ — средняя линия трапеции:
$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{10 + 8}{2} = 9$.
Шаг 2: Введём координаты.
Поместим основание в плоскость $z=0$:
$A(0,0,0)$, $D(10,0,0)$. Пусть высота трапеции $h$, тогда $B(1, h, 0)$, $C(9, h, 0)$ (так как $BC=8$).
$M$ — середина $AB$: $M\left(0.5, \frac{h}{2}, 0\right)$.
$N$ — середина $CD$: $N\left(9.5, \frac{h}{2}, 0\right)$.
$O$ — пересечение $AC$ и $BD$. Решая уравнения прямых, находим $O\left(5, \frac{5h}{9}, 0\right)$.
Шаг 3: Определим координаты $S$.
Из условия $SO \perp AD$ ($AD$ вдоль оси $Ox$) следует, что $S$ и $O$ имеют одинаковую $x$-координату: $S(5, y_s, z_s)$.
Длина $SO = 8$:
$(y_s - \frac{5h}{9})^2 + z_s^2 = 64$.
Шаг 4: Найдём точки $P$ и $Q$.
Так как $MP \parallel SO$, то $P$ лежит на $SA$ и $MP \parallel SO$.
Параметризуем $SA$: $P = A + t \cdot \vec{AS} = (5t, t y_s, t z_s)$.
Вектор $MP = (5t - 0.5, t y_s - \frac{h}{2}, t z_s)$.
Условие $MP \parallel SO$: $(5t - 0.5, t y_s - \frac{h}{2}, t z_s) = \lambda (0, \frac{5h}{9} - y_s, -z_s)$.
Из первой координаты: $5t - 0.5 = 0 \Rightarrow t = 0.1$.
Аналогично для $Q$ на $SD$ получаем $u = 0.1$.
Таким образом:
$P(0.5, 0.1 y_s, 0.1 z_s)$, $Q(9.5, 0.1 y_s, 0.1 z_s)$.
Шаг 5: Длины сторон.
$PQ = \sqrt{(9.5 - 0.5)^2} = 9$, значит $PQ = MN = 9$.
$MP = \sqrt{(0.1 y_s - \frac{h}{2})^2 + (0.1 z_s)^2}$.
Шаг 6: Используем параллельность $MP$ и $SO$.
Вектор $SO = (0, \frac{5h}{9} - y_s, -z_s)$. Так как $MP \parallel SO$, то $MP = k \cdot SO$.
Из $z$-координаты: $0.1 z_s = -k z_s$.
Если $z_s \neq 0$, то $k = -0.1$. Подставляем в $y$-координату:
$0.1 y_s - \frac{h}{2} = -0.1 \left( \frac{5h}{9} - y_s \right) \Rightarrow -\frac{h}{2} = -\frac{0.5h}{9} \Rightarrow h=0$, что невозможно.
Значит, $z_s = 0$ (то есть $SO$ лежит в плоскости основания, но это не противоречит условию $SO \perp AD$).
Шаг 7: При $z_s=0$ из $SO=8$: $|y_s - \frac{5h}{9}| = 8$.
Выберем $h=8$ (высота трапеции) для удобства. Тогда $O\left(5, \frac{40}{9}\right)$, $y_s = \frac{40}{9} + 8 = \frac{112}{9}$.
Тогда $M(0.5, 4, 0)$, $P\left(0.5, \frac{112}{90}, 0\right) = \left(0.5, \frac{56}{45}, 0\right)$.
$MP = \left| 4 - \frac{56}{45} \right| = \frac{180 - 56}{45} = \frac{124}{45}$.
Шаг 8: Площадь сечения.
$MNPQ$ — параллелограмм со сторонами $MN=9$ и высотой, равной длине $MP$ (так как $MN \parallel PQ$ и $MP \perp MN$).
Площадь $S = MN \cdot MP = 9 \cdot \frac{124}{45} = \frac{124}{5} = 24.8$.
Окончательный ответ:
$24.8$