Шаг 1
Упростим выражение. Заметим, что $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$. Тогда второй логарифм: $\log_{(x+5)^2} 2 = \frac{1}{\log_2 ((x+5)^2)} = \frac{1}{2\log_2 (x+5)}$.
Шаг 2
Преобразуем первый логарифм: $\log_{16}(x+5) = \frac{\log_2 (x+5)}{4}$.
Шаг 3
Подставим в неравенство: $\frac{\log_2 (x+5)}{4} + \frac{1}{2\log_2 (x+5)} \ge \frac{3}{4}$.
Шаг 4
Сделаем замену $t = \log_2 (x+5)$. Получим: $\frac{t}{4} + \frac{1}{2t} \ge \frac{3}{4}$.
Шаг 5
Умножим на $4t$ (учитывая, что $t \ne 0$): $t^2 + 2 \ge 3t \Rightarrow t^2 - 3t + 2 \ge 0 \Rightarrow (t-1)(t-2) \ge 0$.
Шаг 6
Решаем неравенство: $t \le 1$ или $t \ge 2$.
Шаг 7
Возвращаемся к $x$:
1) $\log_2 (x+5) \le 1 \Rightarrow 0 < x+5 \le 2 \Rightarrow -5 < x \le -3$.
2) $\log_2 (x+5) \ge 2 \Rightarrow x+5 \ge 4 \Rightarrow x \ge -1$.
1) $\log_2 (x+5) \le 1 \Rightarrow 0 < x+5 \le 2 \Rightarrow -5 < x \le -3$.
2) $\log_2 (x+5) \ge 2 \Rightarrow x+5 \ge 4 \Rightarrow x \ge -1$.
Шаг 8
Учитываем область определения: $x+5 > 0$ и основание второго логарифма $(x+5)^2 \ne 1$, что уже учтено в решении.
Окончательный ответ:
\(x \in (-5, -3] \cup [-1, +\infty)\).