Шаг 1
Введём векторный базис. Пусть $\vec{a} = \overrightarrow{DA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{DB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{DC}$. Тогда $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}$.
Шаг 2
Выразим координаты точек относительно $D$.
По условию: $AM:MB = 1:2$, поэтому $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.
Аналогично, $CN:NB = 1:2$, поэтому $\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} = \vec{c} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$.
Точки $P$ и $Q$ — середины: $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{DQ} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
По условию: $AM:MB = 1:2$, поэтому $\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.
Аналогично, $CN:NB = 1:2$, поэтому $\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{DC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} = \vec{c} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$.
Точки $P$ и $Q$ — середины: $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{DQ} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
Результат:
$P\left(\frac{1}{2}\vec{a}\right)$, $Q\left(\frac{1}{2}\vec{c}\right)$, $M\left(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}\right)$, $N\left(\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}\right)$.
Шаг 3
Докажем копланарность $P$, $Q$, $M$, $N$. Найдём векторы:
$\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{DP} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$,
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{DQ} - \overrightarrow{DP} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$,
$\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{DP} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$.
$\overrightarrow{PM} = \overrightarrow{DM} - \overrightarrow{DP} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$,
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{DQ} - \overrightarrow{DP} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$,
$\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{DP} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$.
Шаг 4
Проверим линейную зависимость. Ищем $\alpha$, $\beta$ такие, что $\overrightarrow{PN} = \alpha \overrightarrow{PM} + \beta \overrightarrow{PQ}$.
Приравнивая коэффициенты при $\vec{b}$: $\alpha \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = 1$.
При $\vec{c}$: $\beta \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \beta = \frac{4}{3}$.
При $\vec{a}$: $1 \cdot \frac{1}{6} + \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2}$, что совпадает с коэффициентом в $\overrightarrow{PN}$.
Значит, $\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{PM} + \frac{4}{3} \overrightarrow{PQ}$, поэтому векторы компланарны, и точки лежат в одной плоскости. Доказано.
Приравнивая коэффициенты при $\vec{b}$: $\alpha \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow \alpha = 1$.
При $\vec{c}$: $\beta \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \beta = \frac{4}{3}$.
При $\vec{a}$: $1 \cdot \frac{1}{6} + \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{6} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{2}$, что совпадает с коэффициентом в $\overrightarrow{PN}$.
Значит, $\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{PM} + \frac{4}{3} \overrightarrow{PQ}$, поэтому векторы компланарны, и точки лежат в одной плоскости. Доказано.
Шаг 5
Для нахождения отношения объёмов введём координаты. Пусть $A(0,0,0)$, $B(3,0,0)$, $C(0,3,0)$, $D(0,0,3)$. Тогда:
$M(1,0,0)$ (так как $AM:MB=1:2$),
$N(1,2,0)$ (так как $CN:NB=1:2$),
$P(0,0,1.5)$ (середина $DA$),
$Q(0,1.5,1.5)$ (середина $DC$).
Объём пирамиды $ABCD$: $V = \frac{1}{6} \left| \det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) \right| = \frac{1}{6} \cdot |27| = 4.5$.
$M(1,0,0)$ (так как $AM:MB=1:2$),
$N(1,2,0)$ (так как $CN:NB=1:2$),
$P(0,0,1.5)$ (середина $DA$),
$Q(0,1.5,1.5)$ (середина $DC$).
Объём пирамиды $ABCD$: $V = \frac{1}{6} \left| \det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right) \right| = \frac{1}{6} \cdot |27| = 4.5$.
Шаг 6
Плоскость $PQM$ отсекает многогранник $DPQMN$ (с вершиной $D$). Разобьём его на два тетраэдра: $DPMQ$ и $DPQN$.
Объём тетраэдра $DPMQ$: $V_1 = \frac{1}{6} \left| \det\left(\overrightarrow{DP},\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DQ}\right) \right|$, где $\overrightarrow{DP}=(0,0,-1.5)$, $\overrightarrow{DM}=(1,0,-3)$, $\overrightarrow{DQ}=(0,1.5,-1.5)$.
Определитель равен $-2.25$, модуль $2.25$, поэтому $V_1 = \frac{1}{6} \cdot 2.25 = 0.375$.
Объём тетраэдра $DPQN$: $V_2 = \frac{1}{6} \left| \det\left(\overrightarrow{DP},\overrightarrow{DQ},\overrightarrow{DN}\right) \right|$, где $\overrightarrow{DN}=(1,2,-3)$.
Определитель равен $2.25$, модуль $2.25$, поэтому $V_2 = \frac{1}{6} \cdot 2.25 = 0.375$.
Тетраэдры пересекаются только по грани $DPQ$, поэтому $V_D = V_1 + V_2 = 0.75$.
Объём тетраэдра $DPMQ$: $V_1 = \frac{1}{6} \left| \det\left(\overrightarrow{DP},\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DQ}\right) \right|$, где $\overrightarrow{DP}=(0,0,-1.5)$, $\overrightarrow{DM}=(1,0,-3)$, $\overrightarrow{DQ}=(0,1.5,-1.5)$.
Определитель равен $-2.25$, модуль $2.25$, поэтому $V_1 = \frac{1}{6} \cdot 2.25 = 0.375$.
Объём тетраэдра $DPQN$: $V_2 = \frac{1}{6} \left| \det\left(\overrightarrow{DP},\overrightarrow{DQ},\overrightarrow{DN}\right) \right|$, где $\overrightarrow{DN}=(1,2,-3)$.
Определитель равен $2.25$, модуль $2.25$, поэтому $V_2 = \frac{1}{6} \cdot 2.25 = 0.375$.
Тетраэдры пересекаются только по грани $DPQ$, поэтому $V_D = V_1 + V_2 = 0.75$.
Шаг 7
Объём оставшейся части: $V - V_D = 4.5 - 0.75 = 3.75$.
Отношение объёмов: $V_D : (V - V_D) = 0.75 : 3.75 = 1 : 5$.
Отношение объёмов: $V_D : (V - V_D) = 0.75 : 3.75 = 1 : 5$.
Окончательный ответ:
$1:5$