Шаг 1
Упростим выражение $2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
Результат:
$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$.
Шаг 2
Подставим в исходное уравнение.
Результат:
$\sin x + \sqrt{3}\cos x + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1$.
Шаг 3
Сократим $\sqrt{3}\cos x$ с обеих сторон.
Результат:
$\sin x + \cos 2x = 1$.
Шаг 4
Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2\sin^{2} x$.
Результат:
$\sin x + 1 - 2\sin^{2} x = 1$.
Шаг 5
Упростим уравнение.
Результат:
$\sin x - 2\sin^{2} x = 0$.
Шаг 6
Вынесем общий множитель.
Результат:
$\sin x \left(1 - 2\sin x\right) = 0$.
Шаг 7
Получаем две серии решений.
Результат:
$\sin x = 0$ или $\sin x = \frac{1}{2}$.
Шаг 8
Запишем общие решения.
Результат:
$x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Шаг 9
Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.
Из $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$.
Корень $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ на отрезок не попадает.
Результат:
Из $x = \pi n$ при $n = -3$ получаем $x = -3\pi$, при $n = -2$ получаем $x = -2\pi$.
Из $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n = -1$ получаем $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$.
Корень $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ на отрезок не попадает.
Окончательный ответ:
$x = -3\pi$, $x = -2\pi$, $x = -\frac{11\pi}{6}$.