Шаг 1
Введем замену $t = 11^{x} > 0$. Исходное неравенство примет вид:
$\frac{t - 6 - 24 \cdot t^{-1}}{t^{2} - 16t + 60} \leq \frac{1}{t - 10}$.
$\frac{t - 6 - 24 \cdot t^{-1}}{t^{2} - 16t + 60} \leq \frac{1}{t - 10}$.
Шаг 2
Упростим числитель и знаменатель. Заметим, что $121^{x} = (11^{2})^{x} = t^{2}$.
Числитель: $t - 6 - \frac{24}{t} = \frac{t^{2} - 6t - 24}{t}$.
Знаменатель: $t^{2} - 16t + 60 = (t-6)(t-10)$.
Неравенство становится: $\frac{t^{2} - 6t - 24}{t(t-6)(t-10)} \leq \frac{1}{t-10}$.
Числитель: $t - 6 - \frac{24}{t} = \frac{t^{2} - 6t - 24}{t}$.
Знаменатель: $t^{2} - 16t + 60 = (t-6)(t-10)$.
Неравенство становится: $\frac{t^{2} - 6t - 24}{t(t-6)(t-10)} \leq \frac{1}{t-10}$.
Шаг 3
Перенесем все в одну сторону:
$\frac{t^{2} - 6t - 24}{t(t-6)(t-10)} - \frac{1}{t-10} \leq 0$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{t^{2} - 6t - 24 - t(t-6)}{t(t-6)(t-10)} \leq 0$.
$\frac{t^{2} - 6t - 24}{t(t-6)(t-10)} - \frac{1}{t-10} \leq 0$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{t^{2} - 6t - 24 - t(t-6)}{t(t-6)(t-10)} \leq 0$.
Шаг 4
Упростим числитель:
$t^{2} - 6t - 24 - t^{2} + 6t = -24$.
Получаем: $\frac{-24}{t(t-6)(t-10)} \leq 0$, что равносильно $\frac{1}{t(t-6)(t-10)} \geq 0$.
$t^{2} - 6t - 24 - t^{2} + 6t = -24$.
Получаем: $\frac{-24}{t(t-6)(t-10)} \leq 0$, что равносильно $\frac{1}{t(t-6)(t-10)} \geq 0$.
Шаг 5
Решаем методом интервалов для $t>0$. Знаменатель положителен при $t \in (0,6) \cup (10, +\infty)$ и отрицателен при $t \in (6,10)$. Учитывая знак неравенства $\geq 0$, получаем $t \in (0,6) \cup (10, +\infty)$.
Шаг 6
Возвращаемся к переменной $x$: $t = 11^{x} > 0$.
Из $t \in (0,6)$: $0 < 11^{x} < 6 \Rightarrow x < \log_{11}6$.
Из $t \in (10, +\infty)$: $11^{x} > 10 \Rightarrow x > \log_{11}10$.
Из $t \in (0,6)$: $0 < 11^{x} < 6 \Rightarrow x < \log_{11}6$.
Из $t \in (10, +\infty)$: $11^{x} > 10 \Rightarrow x > \log_{11}10$.
Шаг 7
Проверим точки, где знаменатель обращается в ноль: $t=6$ и $t=10$.
При $t=6$ исходное выражение не определено.
При $t=10$ выражение также не определено.
Следовательно, эти точки не входят в решение.
При $t=6$ исходное выражение не определено.
При $t=10$ выражение также не определено.
Следовательно, эти точки не входят в решение.
Окончательный ответ:
$x \in (-\infty, \log_{11}6) \cup (\log_{11}10, +\infty)$.