Шаг 1
Упростим выражение, используя свойства логарифмов.
Исходное неравенство: $1 + 6\log_{3}x - 3 + 5\log_{2}(3x) - \log_{3}(27x^{6}) + 12 \ge 0$.
Преобразуем: $5\log_{2}(3x) = 5\log_{2}3 + 5\log_{2}x$ и $\log_{3}(27x^{6}) = \log_{3}27 + \log_{3}x^{6} = 3 + 6\log_{3}x$.
Подставим: $1 + 6\log_{3}x - 3 + 5\log_{2}3 + 5\log_{2}x - (3 + 6\log_{3}x) + 12 \ge 0$.
Исходное неравенство: $1 + 6\log_{3}x - 3 + 5\log_{2}(3x) - \log_{3}(27x^{6}) + 12 \ge 0$.
Преобразуем: $5\log_{2}(3x) = 5\log_{2}3 + 5\log_{2}x$ и $\log_{3}(27x^{6}) = \log_{3}27 + \log_{3}x^{6} = 3 + 6\log_{3}x$.
Подставим: $1 + 6\log_{3}x - 3 + 5\log_{2}3 + 5\log_{2}x - (3 + 6\log_{3}x) + 12 \ge 0$.
Результат:
После сокращения $6\log_{3}x$ и $-6\log_{3}x$ и сложения чисел $(1 - 3 - 3 + 12 = 7)$ получаем: $5\log_{2}x + 7 + 5\log_{2}3 \ge 0$.
Шаг 2
Решим неравенство относительно $\log_{2}x$.
$5\log_{2}x \ge -7 - 5\log_{2}3$
$\log_{2}x \ge -\frac{7}{5} - \log_{2}3$.
$5\log_{2}x \ge -7 - 5\log_{2}3$
$\log_{2}x \ge -\frac{7}{5} - \log_{2}3$.
Шаг 3
Преобразуем правую часть в логарифм.
$-\frac{7}{5} - \log_{2}3 = -\log_{2}(2^{7/5}) - \log_{2}3 = -\log_{2}(3 \cdot 2^{7/5}) = \log_{2}\left( \frac{1}{3 \cdot 2^{7/5}} \right)$.
Неравенство принимает вид: $\log_{2}x \ge \log_{2}\left( \frac{1}{3 \cdot 2^{7/5}} \right)$.
$-\frac{7}{5} - \log_{2}3 = -\log_{2}(2^{7/5}) - \log_{2}3 = -\log_{2}(3 \cdot 2^{7/5}) = \log_{2}\left( \frac{1}{3 \cdot 2^{7/5}} \right)$.
Неравенство принимает вид: $\log_{2}x \ge \log_{2}\left( \frac{1}{3 \cdot 2^{7/5}} \right)$.
Шаг 4
Учитывая ОДЗ ($x > 0$) и возрастание функции $\log_{2}t$ (основание $2 > 1$), получаем:
$x \ge \frac{1}{3 \cdot 2^{7/5}}$.
$x \ge \frac{1}{3 \cdot 2^{7/5}}$.
Окончательный ответ:
$\left[ \frac{1}{3 \cdot 2^{7/5}}, +\infty \right)$