Задание F999E6

Упростим уравнение.
Исходное: $2\sin 2x + \sqrt{2}\sin(2\pi - x) + \sqrt{3}\sin 2x = \sqrt{6}\cos x$.
Используем: $\sin(2\pi - x) = -\sin x$, $\sin 2x = 2\sin x\cos x$.
Объединяем слагаемые с $\sin 2x$: $(2 + \sqrt{3})\sin 2x = (2 + \sqrt{3}) \cdot 2\sin x\cos x$.
Подставляем: $2(2 + \sqrt{3})\sin x\cos x - \sqrt{2}\sin x = \sqrt{6}\cos x$.
Переносим всё в одну сторону:
$2(2 + \sqrt{3})\sin x\cos x - \sqrt{2}\sin x - \sqrt{6}\cos x = 0$.

Проверим случай $\cos x = 0$.
Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. Подставляем: левая часть равна $0 - \sqrt{2}\sin x - 0 = -\sqrt{2}\sin x$, что равно нулю только при $\sin x = 0$. Противоречие. Значит, $\cos x \neq 0$.

Разделим уравнение на $\cos x \neq 0$:
$2(2 + \sqrt{3})\sin x - \sqrt{2}\tan x - \sqrt{6} = 0$.
Это неудобно, так как содержит и $\sin x$, и $\tan x$. Вернёмся к уравнению из шага 1 и попробуем разложить на множители.

Заметим, что коэффициенты связаны: $\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3}$, $2(2+\sqrt{3}) = (\sqrt{3}+1)^2$.
Уравнение: $(\sqrt{3}+1)^2 \sin x\cos x - \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\sqrt{3}\cos x = 0$.
Попробуем разложение вида $(\alpha\sin x - \beta\cos x)(\gamma\cos x - \delta) = 0$, но оно приводит к появлению $\cos^2 x$, которого нет в исходном уравнении. Поэтому такой подход не работает.

Преобразуем уравнение к виду, удобному для применения формулы сложения.
Перенесём $\sqrt{6}\cos x$ вправо: $2(2+\sqrt{3})\sin x\cos x - \sqrt{2}\sin x = \sqrt{6}\cos x$.
Правая часть: $\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6}\cos x = 2\sqrt{2}\left( \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right) = 2\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.
Левая часть: $2(2+\sqrt{3})\sin 2x$.
Уравнение принимает вид: $2(2+\sqrt{3})\sin 2x = 2\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.
Сокращаем на 2: $(2+\sqrt{3})\sin 2x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Введём замену $y = x + \frac{\pi}{3}$, тогда $x = y - \frac{\pi}{3}$, $\sin 2x = \sin\left(2y - \frac{2\pi}{3}\right)$.
Уравнение: $(2+\sqrt{3})\sin\left(2y - \frac{2\pi}{3}\right) = \sqrt{2}\sin y$.
Раскрываем синус разности: $\sin\left(2y - \frac{2\pi}{3}\right) = \sin 2y \cos\frac{2\pi}{3} - \cos 2y \sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\sin 2y - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2y$.
Подставляем: $(2+\sqrt{3})\left(-\frac{1}{2}\sin 2y - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2y\right) = \sqrt{2}\sin y$.
Умножаем на 2: $-(2+\sqrt{3})\sin 2y - \sqrt{3}(2+\sqrt{3})\cos 2y = 2\sqrt{2}\sin y$.
Выражаем $\sin 2y = 2\sin y\cos y$, $\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y$:
$-2(2+\sqrt{3})\sin y\cos y - \sqrt{3}(2+\sqrt{3})(1 - 2\sin^2 y) = 2\sqrt{2}\sin y$.
Раскрываем и переносим всё в одну сторону:
$-2(2+\sqrt{3})\sin y\cos y - \sqrt{3}(2+\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})\sin^2 y - 2\sqrt{2}\sin y = 0$.
Делим на $\sin y$ (случай $\sin y = 0$ рассмотрим отдельно):
$-2(2+\sqrt{3})\cos y - \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{\sin y} + 2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})\sin y - 2\sqrt{2} = 0$.
Это уравнение сложно решить аналитически.

Вернёмся к уравнению $(2+\sqrt{3})\sin 2x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.
Заметим, что $2+\sqrt{3} = \cot\frac{\pi}{12}$. Тогда: $\cot\frac{\pi}{12} \sin 2x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.
Или $\sin 2x = \sqrt{2}\tan\frac{\pi}{12} \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$, где $\tan\frac{\pi}{12} = 2-\sqrt{3}$.
Получаем: $\sin 2x = \sqrt{2}(2-\sqrt{3})\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$.
Это уравнение также не упрощается очевидным образом.

Поскольку аналитическое решение требует громоздких выкладок, а в условии ЕГЭ обычно предполагается разложение на множители, проверим возможные простые корни.
Подстановка $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \frac{\pi}{6}$ не даёт обращения в ноль.
Учитывая структуру коэффициентов, можно предположить, что уравнение имеет корни, выражаемые через арктангенсы, но их явный вид сложен.

Для нахождения корней на отрезке $\left[ -\pi; \frac{\pi}{2} \right]$ потребовалось бы численное решение, но поскольку в условии задачи ожидается аналитический ответ, вероятно, в исходном уравнении есть опечатка или дополнительное условие, упрощающее решение.