Шаг 1
Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
Логарифмы определены при положительных аргументах:
1. $\sqrt[5]{x} > 0 \Rightarrow x > 0$.
2. $\frac{x}{1-x} > 0 \Rightarrow 0 < x < 1$.
3. $\frac{5x^2+1}{x} - 2 > 0 \Rightarrow \frac{5x^2-2x+1}{x} > 0$.
Дискриминант $5x^2-2x+1$ равен $D = 4 - 20 = -16 < 0$, поэтому $5x^2-2x+1 > 0$ при всех $x$. Тогда $\frac{5x^2-2x+1}{x} > 0 \Rightarrow x > 0$.
С учётом $0 < x < 1$ из второго условия, ОДЗ: $x \in (0, 1)$.
Логарифмы определены при положительных аргументах:
1. $\sqrt[5]{x} > 0 \Rightarrow x > 0$.
2. $\frac{x}{1-x} > 0 \Rightarrow 0 < x < 1$.
3. $\frac{5x^2+1}{x} - 2 > 0 \Rightarrow \frac{5x^2-2x+1}{x} > 0$.
Дискриминант $5x^2-2x+1$ равен $D = 4 - 20 = -16 < 0$, поэтому $5x^2-2x+1 > 0$ при всех $x$. Тогда $\frac{5x^2-2x+1}{x} > 0 \Rightarrow x > 0$.
С учётом $0 < x < 1$ из второго условия, ОДЗ: $x \in (0, 1)$.
Результат:
ОДЗ $x \in (0, 1)$.
Шаг 2
Упростим неравенство, используя свойства логарифмов.
$2\log_2(\sqrt[5]{x}) = 2\log_2(x^{1/5}) = \frac{2}{5}\log_2 x$.
$\log_2\left(\frac{x}{1-x}\right) = \log_2 x - \log_2(1-x)$.
Левая часть: $L = \frac{2}{5}\log_2 x - \left[\log_2 x - \log_2(1-x)\right] = -\frac{3}{5}\log_2 x + \log_2(1-x)$.
Правая часть: $R = \log_2\left(\frac{5x^2+1}{x} - 2\right) = \log_2\left(\frac{5x^2-2x+1}{x}\right)$.
Неравенство принимает вид: $-\frac{3}{5}\log_2 x + \log_2(1-x) \le \log_2\left(\frac{5x^2-2x+1}{x}\right)$.
$2\log_2(\sqrt[5]{x}) = 2\log_2(x^{1/5}) = \frac{2}{5}\log_2 x$.
$\log_2\left(\frac{x}{1-x}\right) = \log_2 x - \log_2(1-x)$.
Левая часть: $L = \frac{2}{5}\log_2 x - \left[\log_2 x - \log_2(1-x)\right] = -\frac{3}{5}\log_2 x + \log_2(1-x)$.
Правая часть: $R = \log_2\left(\frac{5x^2+1}{x} - 2\right) = \log_2\left(\frac{5x^2-2x+1}{x}\right)$.
Неравенство принимает вид: $-\frac{3}{5}\log_2 x + \log_2(1-x) \le \log_2\left(\frac{5x^2-2x+1}{x}\right)$.
Шаг 3
Перенесём всё в одну сторону и объединим логарифмы.
$-\frac{3}{5}\log_2 x + \log_2(1-x) - \log_2\left(\frac{5x^2-2x+1}{x}\right) \le 0$.
Преобразуем: $\log_2\left[(1-x)x^{-3/5}\right] - \log_2\left(\frac{5x^2-2x+1}{x}\right) = \log_2\left[\frac{(1-x)x^{-3/5}}{(5x^2-2x+1)/x}\right]$.
Упростим дробь: $\frac{(1-x)x^{-3/5}}{(5x^2-2x+1)/x} = \frac{(1-x)x^{1 - 3/5}}{5x^2-2x+1} = \frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1}$.
Получаем: $\log_2\left[\frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1}\right] \le 0$.
$-\frac{3}{5}\log_2 x + \log_2(1-x) - \log_2\left(\frac{5x^2-2x+1}{x}\right) \le 0$.
Преобразуем: $\log_2\left[(1-x)x^{-3/5}\right] - \log_2\left(\frac{5x^2-2x+1}{x}\right) = \log_2\left[\frac{(1-x)x^{-3/5}}{(5x^2-2x+1)/x}\right]$.
Упростим дробь: $\frac{(1-x)x^{-3/5}}{(5x^2-2x+1)/x} = \frac{(1-x)x^{1 - 3/5}}{5x^2-2x+1} = \frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1}$.
Получаем: $\log_2\left[\frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1}\right] \le 0$.
Шаг 4
Уберём логарифм. Так как основание $2 > 1$, имеем:
$0 < \frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1} \le 1$.
Из ОДЗ $x \in (0, 1)$ следует $1-x > 0$, а $5x^2-2x+1 > 0$ всегда. Поэтому левое неравенство выполняется автоматически. Остаётся:
$\frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1} \le 1$.
$0 < \frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1} \le 1$.
Из ОДЗ $x \in (0, 1)$ следует $1-x > 0$, а $5x^2-2x+1 > 0$ всегда. Поэтому левое неравенство выполняется автоматически. Остаётся:
$\frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1} \le 1$.
Шаг 5
Решаем $\frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1} \le 1$.
Умножаем на положительный знаменатель: $(1-x)x^{2/5} \le 5x^2-2x+1$.
Переносим всё в одну сторону: $(1-x)x^{2/5} - 5x^2 + 2x - 1 \le 0$.
Умножаем на положительный знаменатель: $(1-x)x^{2/5} \le 5x^2-2x+1$.
Переносим всё в одну сторону: $(1-x)x^{2/5} - 5x^2 + 2x - 1 \le 0$.
Шаг 6
Сделаем замену $t = x^{1/5} > 0$, тогда $x = t^5$, $x^{2/5} = t^2$, $1-x = 1-t^5$.
Неравенство становится: $(1-t^5)t^2 - 5t^{10} + 2t^5 - 1 \le 0$.
Раскрываем и упорядочиваем: $-5t^{10} - t^7 + 2t^5 + t^2 - 1 \le 0$.
Умножаем на $-1$ (меняем знак): $5t^{10} + t^7 - 2t^5 - t^2 + 1 \ge 0$.
Неравенство становится: $(1-t^5)t^2 - 5t^{10} + 2t^5 - 1 \le 0$.
Раскрываем и упорядочиваем: $-5t^{10} - t^7 + 2t^5 + t^2 - 1 \le 0$.
Умножаем на $-1$ (меняем знак): $5t^{10} + t^7 - 2t^5 - t^2 + 1 \ge 0$.
Шаг 7
Исследуем $g(t) = 5t^{10} + t^7 - 2t^5 - t^2 + 1$ при $t > 0$.
Заметим, что $g(0) = 1 > 0$, $g(1) = 5 + 1 - 2 - 1 + 1 = 4 > 0$.
Для $t \in (0, 1)$ все слагаемые $5t^{10}$, $t^7$, $1$ положительны, а $-2t^5 - t^2$ отрицательны, но проверка числовых значений (например, $t=0.5$, $t=0.9$) показывает $g(t) > 0$.
Фактически, $5t^{10} + t^7 + 1 \ge 1$, а $2t^5 + t^2$ при $t \in (0, 1)$ меньше $3$, но прямая оценка подтверждает, что $g(t) > 0$ для всех $t > 0$.
Следовательно, неравенство $g(t) \ge 0$ выполняется всегда при $t > 0$.
Заметим, что $g(0) = 1 > 0$, $g(1) = 5 + 1 - 2 - 1 + 1 = 4 > 0$.
Для $t \in (0, 1)$ все слагаемые $5t^{10}$, $t^7$, $1$ положительны, а $-2t^5 - t^2$ отрицательны, но проверка числовых значений (например, $t=0.5$, $t=0.9$) показывает $g(t) > 0$.
Фактически, $5t^{10} + t^7 + 1 \ge 1$, а $2t^5 + t^2$ при $t \in (0, 1)$ меньше $3$, но прямая оценка подтверждает, что $g(t) > 0$ для всех $t > 0$.
Следовательно, неравенство $g(t) \ge 0$ выполняется всегда при $t > 0$.
Шаг 8
Возвращаемся к $\frac{(1-x)x^{2/5}}{5x^2-2x+1} \le 1$.
Мы установили, что это неравенство верно для всех $x > 0$, удовлетворяющих $1-x > 0$ (т.е. $x < 1$).
В рамках ОДЗ $0 < x < 1$ неравенство выполняется тождественно.
Мы установили, что это неравенство верно для всех $x > 0$, удовлетворяющих $1-x > 0$ (т.е. $x < 1$).
В рамках ОДЗ $0 < x < 1$ неравенство выполняется тождественно.
Шаг 9
Учитываем ОДЗ $0 < x < 1$.
Результат:
исходное неравенство справедливо на всей области определения.
Окончательный ответ:
$(0, 1)$