а) Доказательство, что $SM:MC = 1:4$, $SN:ND = 1:4$
Шаг 1: Плоскость $\alpha$ содержит $AB \parallel CD$, поэтому линия пересечения $\alpha$ с плоскостью $SCD$ (прямая $MN$) параллельна $CD$.
Шаг 2: Так как $MN \parallel AB$, сечение $ABMN$ — трапеция. По условию $BM = AN$, значит, трапеция равнобедренная.
Шаг 3: В треугольнике $SCD$: $MN \parallel CD$, $M \in SC$, $N \in SD$. Пусть $SM:MC = k:1$ (от $S$). Тогда по подобию $SN:ND = k:1$ и $\frac{MN}{CD} = \frac{SM}{SC} = \frac{k}{k+1}$.
Шаг 4: $CD = a$, $MN = \frac{a}{5}$. Получаем:
$$
\frac{a/5}{a} = \frac{k}{k+1} \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{k}{k+1} \Rightarrow k+1 = 5k \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}.
$$
Результат:
$MN \parallel CD$.
Шаг 2: Так как $MN \parallel AB$, сечение $ABMN$ — трапеция. По условию $BM = AN$, значит, трапеция равнобедренная.
Шаг 3: В треугольнике $SCD$: $MN \parallel CD$, $M \in SC$, $N \in SD$. Пусть $SM:MC = k:1$ (от $S$). Тогда по подобию $SN:ND = k:1$ и $\frac{MN}{CD} = \frac{SM}{SC} = \frac{k}{k+1}$.
Шаг 4: $CD = a$, $MN = \frac{a}{5}$. Получаем:
$$
\frac{a/5}{a} = \frac{k}{k+1} \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{k}{k+1} \Rightarrow k+1 = 5k \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}.
$$
Результат:
$SM:MC = 1:4$, $SN:ND = 1:4$.
б) Найти $\cos \varphi$, где $\varphi$ — угол между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha$
Шаг 1: Введём координаты. $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C(a,a,0)$. Центр $O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$. Высота $SO = h$, тогда $S\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right)$.
Шаг 2: Найдём координаты $M$ и $N$ с учётом отношения $1:4$.
$M = S + \frac{1}{5}(C-S) = \left(\frac{a}{2} + \frac{a}{10},\; \frac{a}{2} + \frac{a}{10},\; h - \frac{h}{5}\right) = \left(\frac{3a}{5}, \frac{3a}{5}, \frac{4h}{5}\right)$.
$N = S + \frac{1}{5}(D-S) = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{10},\; \frac{a}{2} + \frac{a}{10},\; h - \frac{h}{5}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3a}{5}, \frac{4h}{5}\right)$.
Шаг 3: Используем условие $AN = a$:
$$
AN^2 = \left(\frac{2a}{5}\right)^2 + \left(\frac{3a}{5}\right)^2 + \left(\frac{4h}{5}\right)^2 = \frac{13a^2 + 16h^2}{25} = a^2.
$$
Отсюда $13a^2 + 16h^2 = 25a^2 \Rightarrow 16h^2 = 12a^2 \Rightarrow h^2 = \frac{3}{4}a^2$, $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ (положительная высота).
Шаг 4: Проверим $BM$ и $MN$ (для уверенности).
$BM^2 = \left(a - \frac{3a}{5}\right)^2 + \left(0 - \frac{3a}{5}\right)^2 + \left(0 - \frac{4h}{5}\right)^2 = \frac{13a^2 + 16h^2}{25} = a^2$ (подстановка $h^2$ даёт $a^2$).
$MN = \sqrt{\left(\frac{3a}{5} - \frac{2a}{5}\right)^2} = \frac{a}{5}$. Условия выполнены.
Шаг 5: Найдём нормаль к плоскости $\alpha$, которая проходит через $A$, $B$, $N$.
Векторы: $\vec{AB} = (a,0,0)$, $\vec{AN} = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3a}{5}, \frac{4h}{5}\right)$.
Векторное произведение: $\vec{n_\alpha} = \vec{AB} \times \vec{AN} = \left(0,\; -a \cdot \frac{4h}{5},\; a \cdot \frac{3a}{5}\right) = \left(0,\; -\frac{4ah}{5},\; \frac{3a^2}{5}\right)$.
Шаг 6: Нормаль к основанию: $\vec{n_0} = (0,0,1)$. Косинус угла между плоскостями:
$$
\cos \varphi = \frac{|\vec{n_\alpha} \cdot \vec{n_0}|}{\|\vec{n_\alpha}\| \cdot \|\vec{n_0}\|}.
$$
$\vec{n_\alpha} \cdot \vec{n_0} = \frac{3a^2}{5}$.
$\|\vec{n_\alpha}\| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{4ah}{5}\right)^2 + \left(\frac{3a^2}{5}\right)^2} = \frac{a}{5}\sqrt{16h^2 + 9a^2}$.
Подставляем $h^2 = \frac{3}{4}a^2$: $16h^2 = 12a^2$, тогда $16h^2 + 9a^2 = 21a^2$, $\|\vec{n_\alpha}\| = \frac{a}{5} \sqrt{21a^2} = \frac{a^2\sqrt{21}}{5}$.
Шаг 7: Окончательно:
$$
\cos \varphi = \frac{\frac{3a^2}{5}}{\frac{a^2\sqrt{21}}{5}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{7}.
$$
Шаг 2: Найдём координаты $M$ и $N$ с учётом отношения $1:4$.
$M = S + \frac{1}{5}(C-S) = \left(\frac{a}{2} + \frac{a}{10},\; \frac{a}{2} + \frac{a}{10},\; h - \frac{h}{5}\right) = \left(\frac{3a}{5}, \frac{3a}{5}, \frac{4h}{5}\right)$.
$N = S + \frac{1}{5}(D-S) = \left(\frac{a}{2} - \frac{a}{10},\; \frac{a}{2} + \frac{a}{10},\; h - \frac{h}{5}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3a}{5}, \frac{4h}{5}\right)$.
Шаг 3: Используем условие $AN = a$:
$$
AN^2 = \left(\frac{2a}{5}\right)^2 + \left(\frac{3a}{5}\right)^2 + \left(\frac{4h}{5}\right)^2 = \frac{13a^2 + 16h^2}{25} = a^2.
$$
Отсюда $13a^2 + 16h^2 = 25a^2 \Rightarrow 16h^2 = 12a^2 \Rightarrow h^2 = \frac{3}{4}a^2$, $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ (положительная высота).
Шаг 4: Проверим $BM$ и $MN$ (для уверенности).
$BM^2 = \left(a - \frac{3a}{5}\right)^2 + \left(0 - \frac{3a}{5}\right)^2 + \left(0 - \frac{4h}{5}\right)^2 = \frac{13a^2 + 16h^2}{25} = a^2$ (подстановка $h^2$ даёт $a^2$).
$MN = \sqrt{\left(\frac{3a}{5} - \frac{2a}{5}\right)^2} = \frac{a}{5}$. Условия выполнены.
Шаг 5: Найдём нормаль к плоскости $\alpha$, которая проходит через $A$, $B$, $N$.
Векторы: $\vec{AB} = (a,0,0)$, $\vec{AN} = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3a}{5}, \frac{4h}{5}\right)$.
Векторное произведение: $\vec{n_\alpha} = \vec{AB} \times \vec{AN} = \left(0,\; -a \cdot \frac{4h}{5},\; a \cdot \frac{3a}{5}\right) = \left(0,\; -\frac{4ah}{5},\; \frac{3a^2}{5}\right)$.
Шаг 6: Нормаль к основанию: $\vec{n_0} = (0,0,1)$. Косинус угла между плоскостями:
$$
\cos \varphi = \frac{|\vec{n_\alpha} \cdot \vec{n_0}|}{\|\vec{n_\alpha}\| \cdot \|\vec{n_0}\|}.
$$
$\vec{n_\alpha} \cdot \vec{n_0} = \frac{3a^2}{5}$.
$\|\vec{n_\alpha}\| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{4ah}{5}\right)^2 + \left(\frac{3a^2}{5}\right)^2} = \frac{a}{5}\sqrt{16h^2 + 9a^2}$.
Подставляем $h^2 = \frac{3}{4}a^2$: $16h^2 = 12a^2$, тогда $16h^2 + 9a^2 = 21a^2$, $\|\vec{n_\alpha}\| = \frac{a}{5} \sqrt{21a^2} = \frac{a^2\sqrt{21}}{5}$.
Шаг 7: Окончательно:
$$
\cos \varphi = \frac{\frac{3a^2}{5}}{\frac{a^2\sqrt{21}}{5}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{7}.
$$
Окончательный ответ: