Шаг 1
Перепишем степени с основанием 2.
$8^{x+\frac{2}{3}} = 2^{3x+2} = 4 \cdot 2^{3x}$, $4^{x+\frac{1}{2}} = 2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$, $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$.
Неравенство: $\frac{8^{x+\frac{2}{3}} - 9 \cdot 4^{x+\frac{1}{2}} + 13 \cdot 2^x - 13}{4^{x+\frac{1}{2}} - 9 \cdot 2^x + 4} \le \frac{2^{x+1} - 1}{2^x - 2} + \frac{3}{2^{x+1} - 1}$.
$8^{x+\frac{2}{3}} = 2^{3x+2} = 4 \cdot 2^{3x}$, $4^{x+\frac{1}{2}} = 2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$, $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$.
Неравенство: $\frac{8^{x+\frac{2}{3}} - 9 \cdot 4^{x+\frac{1}{2}} + 13 \cdot 2^x - 13}{4^{x+\frac{1}{2}} - 9 \cdot 2^x + 4} \le \frac{2^{x+1} - 1}{2^x - 2} + \frac{3}{2^{x+1} - 1}$.
Шаг 2
Введем замену $t = 2^x > 0$. Ограничения: $t \ne 2$, $t \ne \frac{1}{2}$, и знаменатель левой части $2t^2 - 9t + 4 \ne 0$.
Шаг 3
Подставим $t$.
Левая часть: $\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4}$.
Правая часть: $\frac{2t - 1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1}$.
Неравенство: $\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \le \frac{2t - 1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1}$.
Левая часть: $\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4}$.
Правая часть: $\frac{2t - 1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1}$.
Неравенство: $\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \le \frac{2t - 1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1}$.
Шаг 4
Упростим левую часть. Знаменатель: $2t^2 - 9t + 4 = (t-4)(2t-1)$.
Разделим числитель на знаменатель: $4t^3 - 18t^2 + 13t - 13 = (2t^2 - 9t + 4)(2t) + (5t - 13)$.
Левая часть равна $2t + \frac{5t - 13}{(t-4)(2t-1)}$.
Разделим числитель на знаменатель: $4t^3 - 18t^2 + 13t - 13 = (2t^2 - 9t + 4)(2t) + (5t - 13)$.
Левая часть равна $2t + \frac{5t - 13}{(t-4)(2t-1)}$.
Шаг 5
Перенесем все в одну сторону:
$2t + \frac{5t - 13}{(t-4)(2t-1)} - \frac{2t - 1}{t - 2} - \frac{3}{2t - 1} \le 0$.
$2t + \frac{5t - 13}{(t-4)(2t-1)} - \frac{2t - 1}{t - 2} - \frac{3}{2t - 1} \le 0$.
Шаг 6
Приведем к общему знаменателю $(t-4)(2t-1)(t-2)$.
Числитель: $N(t) = 2t(t-4)(2t-1)(t-2) + (5t-13)(t-2) - (2t-1)^2(t-4) - 3(t-4)(t-2)$.
Числитель: $N(t) = 2t(t-4)(2t-1)(t-2) + (5t-13)(t-2) - (2t-1)^2(t-4) - 3(t-4)(t-2)$.
Шаг 7
Упростим $N(t)$.
После раскрытия и приведения подобных: $N(t) = 4t^4 - 30t^3 + 66t^2 - 38t + 6$.
После раскрытия и приведения подобных: $N(t) = 4t^4 - 30t^3 + 66t^2 - 38t + 6$.
Шаг 8
Разложим $N(t)$ на множители.
Находим корни: $t=3$ — корень. Делим на $(t-3)$: получаем $4t^3 - 18t^2 + 12t - 2 = 2(2t^3 - 9t^2 + 6t - 1)$.
Далее, $t=\frac{1}{2}$ — корень $2t^3 - 9t^2 + 6t - 1$. Делим на $(2t-1)$: получаем $t^2 - 4t + 1$.
Итого: $N(t) = 2(t-3)(2t-1)(t^2 - 4t + 1)$.
Находим корни: $t=3$ — корень. Делим на $(t-3)$: получаем $4t^3 - 18t^2 + 12t - 2 = 2(2t^3 - 9t^2 + 6t - 1)$.
Далее, $t=\frac{1}{2}$ — корень $2t^3 - 9t^2 + 6t - 1$. Делим на $(2t-1)$: получаем $t^2 - 4t + 1$.
Итого: $N(t) = 2(t-3)(2t-1)(t^2 - 4t + 1)$.
Шаг 9
Решим $t^2 - 4t + 1 = 0$: $t = 2 \pm \sqrt{3}$.
Корни числителя: $t = \frac{1}{2}$, $t = 3$, $t = 2 - \sqrt{3}$, $t = 2 + \sqrt{3}$.
Корни числителя: $t = \frac{1}{2}$, $t = 3$, $t = 2 - \sqrt{3}$, $t = 2 + \sqrt{3}$.
Шаг 10
Неравенство принимает вид:
$\frac{2(t-3)(2t-1)(t^2 - 4t + 1)}{(t-4)(2t-1)(t-2)} \le 0$.
Сокращаем на $(2t-1)$ (учитывая $t \ne \frac{1}{2}$) и на 2:
$\frac{(t-3)(t^2 - 4t + 1)}{(t-4)(t-2)} \le 0$.
Раскладываем: $\frac{(t-3)(t - (2 - \sqrt{3}))(t - (2 + \sqrt{3}))}{(t-4)(t-2)} \le 0$.
$\frac{2(t-3)(2t-1)(t^2 - 4t + 1)}{(t-4)(2t-1)(t-2)} \le 0$.
Сокращаем на $(2t-1)$ (учитывая $t \ne \frac{1}{2}$) и на 2:
$\frac{(t-3)(t^2 - 4t + 1)}{(t-4)(t-2)} \le 0$.
Раскладываем: $\frac{(t-3)(t - (2 - \sqrt{3}))(t - (2 + \sqrt{3}))}{(t-4)(t-2)} \le 0$.
Шаг 11
Метод интервалов для $t > 0$.
Критические точки: $t_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$, $t_2 = 2$ (выколота), $t_3 = 3$, $t_4 = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732$, $t_5 = 4$ (выколота). Также $t = \frac{1}{2}$ выколота.
Определяем знаки на интервалах:
- $(0, 2 - \sqrt{3}]$: знак "-", удовлетворяет.
- $(2 - \sqrt{3}, 0.5)$: "+", не удовлетворяет.
- $(0.5, 2)$: "+", не удовлетворяет.
- $(2, 3]$: "-", удовлетворяет.
- $(3, 2 + \sqrt{3})$: "+", не удовлетворяет.
- $(2 + \sqrt{3}, 4)$: "-", удовлетворяет.
- $(4, +\infty)$: "+", не удовлетворяет.
Включаем точки, где числитель равен нулю: $t = 2 - \sqrt{3}$, $t = 3$, $t = 2 + \sqrt{3}$.
Решение для $t$: $(0, 2 - \sqrt{3}] \cup (2, 3] \cup (2 + \sqrt{3}, 4)$.
Критические точки: $t_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$, $t_2 = 2$ (выколота), $t_3 = 3$, $t_4 = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732$, $t_5 = 4$ (выколота). Также $t = \frac{1}{2}$ выколота.
Определяем знаки на интервалах:
- $(0, 2 - \sqrt{3}]$: знак "-", удовлетворяет.
- $(2 - \sqrt{3}, 0.5)$: "+", не удовлетворяет.
- $(0.5, 2)$: "+", не удовлетворяет.
- $(2, 3]$: "-", удовлетворяет.
- $(3, 2 + \sqrt{3})$: "+", не удовлетворяет.
- $(2 + \sqrt{3}, 4)$: "-", удовлетворяет.
- $(4, +\infty)$: "+", не удовлетворяет.
Включаем точки, где числитель равен нулю: $t = 2 - \sqrt{3}$, $t = 3$, $t = 2 + \sqrt{3}$.
Решение для $t$: $(0, 2 - \sqrt{3}] \cup (2, 3] \cup (2 + \sqrt{3}, 4)$.
Шаг 12
Возвращаемся к $x$: $t = 2^x$.
1) $0 < 2^x \le 2 - \sqrt{3} \Rightarrow x \le \log_2 (2 - \sqrt{3})$.
2) $2 < 2^x \le 3 \Rightarrow 1 < x \le \log_2 3$.
3) $2 + \sqrt{3} < 2^x < 4 \Rightarrow \log_2 (2 + \sqrt{3}) < x < 2$.
1) $0 < 2^x \le 2 - \sqrt{3} \Rightarrow x \le \log_2 (2 - \sqrt{3})$.
2) $2 < 2^x \le 3 \Rightarrow 1 < x \le \log_2 3$.
3) $2 + \sqrt{3} < 2^x < 4 \Rightarrow \log_2 (2 + \sqrt{3}) < x < 2$.
Окончательный ответ:
$x \in \left(-\infty, \log_2 (2 - \sqrt{3})\right] \cup \left(1, \log_2 3\right] \cup \left(\log_2 (2 + \sqrt{3}), 2\right)$.