Задание 019790

Упростим уравнение. Используем формулу синуса двойного угла: $2\sin 2x = 4\sin x \cos x$. Также $\cos(-x) = \cos x$. Получаем:
$4\sin x \cos x + \cos x - 1 = 0$.

Вынесем $\cos x$: $\cos x (4\sin x + 1) = 1$.

Поскольку $|\cos x| \leq 1$, для выполнения равенства $\cos x (4\sin x + 1) = 1$ возможны два случая:
1) $\cos x = 1$ и $4\sin x + 1 = 1$. Из второго: $4\sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$. При $\cos x = 1$ это верно. Тогда $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = -1$ и $4\sin x + 1 = -1$. Из второго: $\sin x = -\frac{1}{2}$. Но при $\cos x = -1$ имеем $\sin x = 0$, что противоречит $\sin x = -\frac{1}{2}$. Решений нет.
Проверка показывает, что других решений нет, так как если $|\cos x| < 1$, то $|4\sin x + 1| > 1$, и их произведение не может равняться 1 при условии $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Найдем корни на отрезке $\left[ -\frac{9\pi}{2}, -3\pi \right]$.
Подставляем $x = 2\pi n$: $-\frac{9\pi}{2} \leq 2\pi n \leq -3\pi$.
Делим на $\pi$: $-\frac{9}{2} \leq 2n \leq -3 \Rightarrow -4.5 \leq 2n \leq -3 \Rightarrow -2.25 \leq n \leq -1.5$.
Единственное целое $n$: $n = -2$. Тогда $x = 2\pi \cdot (-2) = -4\pi$.